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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:19 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | Sei [mm] $G\subset \IC$ [/mm] ein Gebiet. Eine zweimal stetig differenzierbare Funktion [mm] $u:G\rightarrow \IR$ [/mm] heisst harmonisch, wenn [mm] $u_{xx}+u_{yy}=0$ [/mm] in G ist.
Zeige: Falls $f=u+iv [mm] \in [/mm] O(G)$, so ist u und v in G harmonisch. (Hinweis: Verwende die noch nicht bewiesene Tatsache, dass mit f auch f' holomorph ist.) |
Hallo,
f ,f' sind holomorph also gelten die CauRieDGL:
(1):
[mm] $u_{x}=v_{y}$
[/mm]
[mm] $u_{y}=-v_{x}$
[/mm]
setzt man (1) in [mm] $f'=u_{x}(x,y)+iv_{x}(x,y)$ [/mm] ein gelten die CauRieDGL wieder:
(2):
[mm] $u_{xx}=u_{xy}$
[/mm]
[mm] $u_{yy}=-u_{yx}$ [/mm]
[mm] $\Rightarrow u_{xx}+u_{yy} [/mm] = 0$
Frage: stimmt das so und muss ich noch zeigen dass der Satz von Schwarz gilt?
Danke für jegliche Hilfe!!
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Sei [mm]G\subset \IC[/mm] ein Gebiet. Eine zweimal stetig
> differenzierbare Funktion [mm]u:G\rightarrow \IR[/mm] heisst
> harmonisch, wenn [mm]u_{xx}+u_{yy}=0[/mm] in G ist.
>
> Zeige: Falls [mm]f=u+iv \in O(G)[/mm], so ist u und v in G
> harmonisch. (Hinweis: Verwende die noch nicht bewiesene
> Tatsache, dass mit f auch f' holomorph ist.)
> Hallo,
>
>
> f ,f' sind holomorph also gelten die CauRieDGL:
>
> (1):
> [mm]u_{x}=v_{y}[/mm]
> [mm]u_{y}=-v_{x}[/mm]
>
>
> setzt man (1) in [mm]f'=u_{x}(x,y)+iv_{x}(x,y)[/mm] ein gelten die
Hier musst Du doch
[mm]f_{x}=u_{x}(x,y)+iv_{x}(x,y)[/mm] und [mm]f_{y}=u_{y}(x,y)+iv_{y}(x,y)[/mm]
betrachten.
> CauRieDGL wieder:
>
> (2):
> [mm]u_{xx}=u_{xy}[/mm]
> [mm]u_{yy}=-u_{yx}[/mm]
>
Hier muss doch stehen:
[mm]u_{xx}=\blue{v}_{xy}[/mm]
[mm]u_{\blue{x}y}=-\blue{v}_{y\blue{y}}[/mm]
> [mm]\Rightarrow u_{xx}+u_{yy} = 0[/mm]
>
> Frage: stimmt das so und muss ich noch zeigen dass der Satz
> von Schwarz gilt?
>
Für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion
gilt der Satz von Schwarz.
>
>
>
> Danke für jegliche Hilfe!!
>
>
>
> Gruss
> kushkush
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:56 So 02.10.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo MathePower,
>
Sorrie für die vielen Fehler! Danke vielmals!
Gruss
kushkush
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