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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:55 Mo 03.12.2018 | | Autor: | nosche |
| Aufgabe | Wir betrachten ein massives Teilchen im Potential V(x) in der Nähe einer Gleichgewichtslage [mm] x_{0}. [/mm] Letztere ist dadurch charakterisiert, dass dort keine Kraft auf das Teilchen wirkt, d.h. [mm] \vec{F}(x_{0})\equiv-\dot{\vec{V}}_{0}(x_{0})=0. [/mm] Zu quartischer Ordnung lässt sich somit das Potential entwickeln zu
(c) Drücken Sie die Geschwindigkeit [mm] v_{0} [/mm] beim Durchlauf von [mm] x_{0} [/mm] mithilfe von [mm] u_{m} [/mm] aus.
[mm] V(x)\approx V_{0}+k/2*(x-x_{0})^{2}+\alpha/3*(x-x_{0})^{2}+\beta/4*(x-x_{0})^{4} [/mm]
(a) Zeigen Sie, dass zu für eine Entwicklung zu quadratischer Ordnung die Bewegung durch die Gleichung
[mm] \ddot{u}(t)=-\omega^{2}_{0}*u(t) [/mm]
bestimmt ist. Ermitteln Sie die charakteristische Frequenz [mm] \omega_{0} [/mm] des Problems und diskutieren Sie einschränkende Bedingungen.
(b) Weiterhin unter der Annahme quadratischer Approximation, bestimmen Sie die maximale Auslenkung [mm] u_{m} [/mm] von der Gleichgewichtslage [mm] x_{0}, [/mm] wenn das Teilchen eine gesamte
Energie [mm] E_{g}=V_{0}+E\equiv [/mm] V+T besitzt.
(c) Drücken Sie die Geschwindigkeit [mm] v_{0} [/mm] beim Durchlauf von [mm] x_{0} [/mm] mithilfe von [mm] u_{m} [/mm] aus. |
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ich bin total unsicher, hoffe das wenigstens etwas stimmt
a)
[mm] \vec{F}(x)=m*\ddot{x}=-\dot{\vec{V}}(x)=-k*(x-x_{0})
[/mm]
[mm] \ddot{x}=-\bruch{k}{m}*(x-x_{0})
[/mm]
mit [mm] \omega_{0}:=\wurzel{\bruch{k}{m}} \Rightarrow \ddot{x}=-\omega^{2}_{0}*(x-x_{0})
[/mm]
einschränkende Bedingungen: k>0 und [mm] (x-x_{0})\approx x_{0}
[/mm]
b)Der Potentialverlauf ist eine verschobene nach oben geöffnete Parabel mit Minimum bei [mm] x_{0}. [/mm] Die maximale Auslenkung hängt daher von E ab:
[mm] E=k/2(x_{m}-x_{0})^{2}
[/mm]
[mm] k/2(x_{m}-x_{0})^{2}-E=0
[/mm]
[mm] (x_{m}-x_{0})^{2}-2E/k=0
[/mm]
[mm] x_{m_{1,2}}=x_{0}\pm \wurzel{x^{2}_{0}-x^{2}_{0}+2E/k}
[/mm]
[mm] =x_{0}\pm \wurzel{2E/k}
[/mm]
c)
[mm] \bruch{1}{2}mv^{2}_{0}=V_{0}+Fx_{m}=V_{0}-\omega^{2}_{0}(x_{m}-x_{0})x_{m}
[/mm]
[mm] v_{0}=\wurzel{\bruch{2}{m}(V_{0}-\omega^{2}_{0}(x_{m}-x_{0})x_{m})}
[/mm]
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:28 Mo 03.12.2018 | | Autor: | leduart |
Hallo
ich sehe keinen Fehler in deinen Rechnungen.
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:49 Do 06.12.2018 | | Autor: | nosche |
Danke, fürs Drüberschauen
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