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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:17 Mo 22.05.2006 | | Autor: | Eumel09 |
| Aufgabe | Sei X ein Hausdorffscher Raum und [mm] X_{0} \subseteq [/mm] X eine abgeschlossene Teilmenge von X. Zeigen Sie: Ist M kompakt in X, so ist M [mm] \cap X_{0} [/mm] kompakt bezüglich der Spurtopologie in [mm] X_{0}.
[/mm]
Warum kann auf Abgeschlossenheit von [mm] X_{0} [/mm] nicht verzichtet werden? |
Hallo,
komme bei dieser Aufgabe nicht weiter. [mm] X_{0} [/mm] ist abgeschlossen, also liegt der Grenzwert jeder konvergenten Folge von [mm] X_{0} [/mm] wieder in [mm] X_{0}. [/mm] Und M ist kompakt, also hat jede Überdeckung von M eine endliche Teilüberdeckung. Aber irgendwie bringt mich das alles nicht weiter.
Wär für Tipps sehr dankbar
gruß eumel
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Hallo und guten Tag,
nimm eine Überdeckung [mm] X_i,i\in [/mm] I von [mm] M\cap X_0 [/mm] mit in [mm] X_0 [/mm] offenen Mengen [mm] X_i, [/mm] Dann gibt es in X offene Mengen [mm] Y_i
[/mm]
mit [mm] Y_i\cap X=X_i [/mm] (Def. der Spurtopologie),
Da [mm] X_0 [/mm] abgeschl. , ist also [mm] X\setminus X_0 [/mm] offen, und die
[mm] Z_i:= Y_i\cup (X\setminus X_0) [/mm]
sind eine offene Überdeckung von M, also gibt es eine endliche Teilüberdeckung mit Indexmenge [mm] J\subseteq [/mm] I, J endlich.
Dann sind die [mm] X_i,i\in [/mm] J eine endl. teilüberd. von [mm] M\cap X_0.
[/mm]
Was mich etwas misstrauisch macht, ist, dass dabei nicht benutzt wurde, dass X Hausdorffsch ist.
Gruss,
Mathias
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