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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:44 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
| Aufgabe | hallo habe hier cosh²(x)-sinh²(x)=1 für alle xR
sinh x -> 1/2 * [mm] (e^x [/mm] - e^-x)
cosh x-> 1/2 * [mm] (e^x [/mm] + e^-x) |
bekäme da am schluss raus am schluss [mm] 1(e^-x)^2 [/mm] = 1 raus stimmt dat
??? wenn ich binom anwende und das ausrechne
aber wieso gilt das jetzt
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Hallo Björn,
wieso soll denn [mm] \left(e^{-x}\right)^2=1 [/mm] sein??
wenn du die 1. bzw 2. binom. Formel anwendest und die Differenz bildest, heben sich doch genau die [mm] \left(e^x\right)^2 [/mm] und die [mm] \left(e^{-x}\right)^2 [/mm] weg und es bleibt [mm] \frac{1}{4}\cdot{}4\underbrace{e^xe^{-x}}_{=1}=\frac{1}{4}\cdot{}4=1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:31 Di 03.07.2007 | | Autor: | bjoern.g |
wie kommst du denn da auf die lösung ?
( 1/2 [mm] e^x [/mm] - 1/2 e^-x )² = 1/4 [mm] (e^x)² [/mm] - 2*1/4 (e^-x)² + 1/4 [mm] (e^x)^2
[/mm]
( 1/2 [mm] e^x [/mm] + 1/2 e^-x )² = 1/4 [mm] (e^x)² [/mm] + 2*1/4 (e^-x)² + 1/4 [mm] (e^x)^2
[/mm]
oder stimmt das so nicht ?? wie kommt dann denn das raus was du raus hast
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Hallo Björn,
wo hast du die [mm] e^{-x} [/mm] gelassen und was ist mit den gemischten Termen [mm] e^xe^{-x} [/mm] ??
> wie kommst du denn da auf die lösung ?
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> ( 1/2 [mm]e^x[/mm] - 1/2 e^-x )² = 1/4 [mm](e^x)²[/mm] - 2*1/4 (e^-x)² + 1/4
> [mm](e^x)^2[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
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> ( 1/2 [mm]e^x[/mm] + 1/2 e^-x )² = 1/4 [mm](e^x)²[/mm] + 2*1/4 (e^-x)² + 1/4
> [mm](e^x)^2[/mm]
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> oder stimmt das so nicht ?? wie kommt dann denn das raus
> was du raus hast
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[mm] \cosh^2(x)=\frac{1}{4}\left(\left(e^x\right)^2+2e^xe^{-x}+\left(e^{-x}\right)^2\right)
[/mm]
und [mm] \sinh^2(x)=\frac{1}{4}\left(\left(e^x\right)^2-2e^xe^{-x}+\left(e^{-x}\right)^2\right)
[/mm]
Also [mm] \cosh^2(x)-\sinh^2(x)=\frac{1}{4}\left(\red{\left(e^x\right)^2}\green{+2e^xe^{-x}}\blue{+\left(e^{-x}\right)^2}\red{-\left(e^x\right)^2}\green{+2e^xe^{-x}}\blue{-\left(e^{-x}\right)^2}\right)=\frac{1}{4}4e^xe^{-x}=1
[/mm]
Gruß
schachuzipus
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