matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenWahrscheinlichkeitstheoriehypergeometrische Verteilung
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Informatik • Physik • Technik • Biologie • Chemie
Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - hypergeometrische Verteilung
hypergeometrische Verteilung < Wahrscheinlichkeitstheorie < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

hypergeometrische Verteilung: Herleitung der Varianz
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:56 Mo 24.02.2020
Autor: sancho1980

Aufgabe
Gegeben ist eine Grundgesamtheit aus N Elementen, von denen M eine bestimmte Eigenschaft haben. Man entnimmt eine Stichprobe vom Umfang n (ohne Zurücklegen). Dann kann die Zufallsvariable X = Anzahl der Elemente in der Stichprobe mit der gewünschten Eigenschaft höchstens die Werte x = 0, 1, 2, ..., n annehmen. Die Wahrscheinlichkeit, genau x Elemente mit der gewünschten Eigenschaft in der Stichprobe vorzufinden, ist

P(X = x) = [mm] \bruch{\vektor{M \\ x} \vektor{N - M \\ n - x}}{\vektor{N \\ n}} [/mm]

Man nennt X hypergeometrisch verteilt und die zugehörige Wahrscheinlichkeitsverteilung eine hypergeometrische Verteilung mit den Parametern n, M und N. Kurzschreibweise: X [mm] \sim [/mm] H(n; M; N).

Hallo,

hier werden nach Definition der hypergeometrischen Verteilung Erwartungswert

[mm] \mu [/mm] = E(X) = [mm] n\bruch{M}{n} [/mm]

und Varianz

[mm] \sigma^2 [/mm] = Var(X) = [mm] n\bruch{M}{N}(1 [/mm] - [mm] \bruch{M}{N})\bruch{N - n}{N - 1} [/mm]

vorgestellt und folgendermaßen hergeleitet:

"Herleitung der Formeln: Für den Erwartungswert berechnen wir zunächst [mm] \summe_{i=0}^{M} i\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm] = ... = [mm] M\bruch{n}{N}\vektor{N \\ n}... [/mm]
Dividieren wir beide Seiten dieser Identität durch [mm] \vektor{N \\ n}, [/mm] so steht links [mm] \mu [/mm] und rechts M [mm] \bruch{n}{N}. [/mm]
Die Formel für [mm] \sigma^2 [/mm] folgt analog, indem man [mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - [mm] 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm] = M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n} [/mm] zeigt."

Ich kann zwar einen Weg von

[mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - [mm] 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i} [/mm]

nach

M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n} [/mm]

finden, was ich hieran aber nicht verstehe ist:

1) Wieso soll anscheinend gelten:

[mm] \sigma^2 [/mm] = [mm] \bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}} [/mm]

2) Die Rechnung endet wie gesagt bei

... = M(M - [mm] 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n} [/mm]

Aber

[mm] \bruch{M(M - 1)\bruch{n(n - 1)}{N(N - 1)}\vektor{N \\ n}}{\vektor{N \\ n}} \not= n\bruch{M}{N}(1 [/mm] - [mm] \bruch{M}{N})\bruch{N - n}{N - 1} [/mm] = [mm] \sigma^2 [/mm] (siehe []hier)

        
Bezug
hypergeometrische Verteilung: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 22:31 Mo 24.02.2020
Autor: Gonozal_IX

Hiho,

> 1) Wieso soll anscheinend gelten:
>  
> [mm]\sigma^2[/mm] = [mm]\bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}}[/mm]

Tut es nicht und steht auch nirgends.
Da steht nur, dass dir die Berechnung von  [mm]\bruch{\summe_{i=0}^{M} i(i - 1)\vektor{M \\ i} \vektor{N - M \\ n - i}}{\vektor{N \\ n}} = \summe_{i=0}^{M} i(i - 1)P(X = i)[/mm] bei der Berechnung von [mm] $\sigma^2$ [/mm] hilft.

Denn es ist [mm] \summe_{i=0}^{M} i(i - 1)P(X = i) = \summe_{i=0}^{M} i^2P(X = i) - \summe_{i=0}^{M} iP(X = i) = E[X^2] - \mu[/mm]

D.h. es gilt: [mm] $\sigma^2 [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] \mu^2 [/mm] = [mm] E[X^2] [/mm] - [mm] \mu [/mm] + [mm] \mu(1 [/mm] - [mm] \mu) [/mm] =  [mm] \summe_{i=0}^{M} [/mm] i(i - 1)P(X = i) + [mm] \mu(1 [/mm] - [mm] \mu)$ [/mm]

Du musst also zu deinem Ergebnis noch was dazuaddieren…

Gruß,
Gono

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]