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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:12 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
| Aufgabe | | x'' + x = sin (3t) |
So,
ich weiß, dass hier bei der homogenen das raus kommen muss
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = Acos(t) + Bsin(t)
Bei mir jedoch:
x'' + x = 0
Ansatz
x(t) = [mm] e^{st}
[/mm]
x'(t) = s [mm] e^{st}
[/mm]
x''(t) = [mm] s^{2} e^{st}
[/mm]
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = [mm] s^{2}* e^{st} [/mm] + [mm] e^{st}
[/mm]
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = [mm] e^{st} [/mm] ( [mm] s^{2} [/mm] + 1)
habe ich für
[mm] s_{1,2} [/mm] = i
[mm] x_{hom} [/mm] (t) = [mm] Acos(\wurzel{-1} [/mm] t ) [mm] +Bsin(\wurzel{-1} [/mm] t )
Partikulär Teil:
x'' + x = sin (3t)
x(t) = A*cos (3t) + B*sin(3t)
x'(t) = -3A* sin(3t) + 3B*cos(3t)
x''(t)= -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t)
[mm] x_{p} [/mm] (t) = -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t) + A*cos (3t) + B*sin(3t)
[mm] x_{p} [/mm] (t) = -8A* cos (3t) - 8B*sin(3t)
Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
1 = -8B
B = -1/2
0= -8A
A = 0
[mm] x_{p} [/mm] (t) = -1/8 sin(3t)
Wäre toll wenn ihr mir die Augen öffnen könntet bei dem homogenen Teil :((
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 Di 14.10.2014 | | Autor: | andyv |
Hallo,
> x'' + x = sin (3t)
> So,
>
> ich weiß, dass hier bei der homogenen das raus kommen
> muss
> [mm]x_{hom}[/mm] (t) = Acos(t) + Bsin(t)
>
> Bei mir jedoch:
> x'' + x = 0
> Ansatz
> x(t) = [mm]e^{st}[/mm]
> x'(t) = s [mm]e^{st}[/mm]
> x''(t) = [mm]s^{2} e^{st}[/mm]
> [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]s^{2}* e^{st}[/mm] +
> [mm]e^{st}[/mm]
> [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]e^{st}[/mm] ( [mm]s^{2}[/mm] + 1)
>
> habe ich für
> [mm]s_{1,2}[/mm] = i
Eine Lösung hast du vergessen.
> [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]Acos(\wurzel{-1}[/mm] t ) [mm]+Bsin(\wurzel{-1}[/mm] t )
Das ist nicht richtig.
Ein komplexes Fundamentalsystem ist [mm] $\{\exp(it), \exp(-it) \}$, [/mm] demnach ist [mm] $\{\Re(\exp(it)), \Im(\exp(it)) \} [/mm] ein reelles FS.
> Partikulär Teil:
> x'' + x = sin (3t)
> x(t) = A*cos (3t) + B*sin(3t)
> x'(t) = -3A* sin(3t) + 3B*cos(3t)
> x''(t)= -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t)
> $ [mm] x_{p} [/mm] $ (t) = -9A* cos (3t) - 9B*sin (3t) + A*cos (3t) + > B*sin(3t)
> $ [mm] x_{p} [/mm] $ (t) = -8A* cos (3t) - 8B*sin(3t)
[mm] $x_p$ [/mm] solltest du hier durch [mm] $x_p''+x_p$ [/mm] ersetzen.
> Durch Koeffizientenvergleich ergibt sich:
> 1 = -8B
B = -1/ 8
> 0= -8A
> A = 0
> [mm]x_{p}[/mm] (t) = -1/8 sin(3t)
>
> Wäre toll wenn ihr mir die Augen öffnen könntet bei dem
> homogenen Teil :((
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
Liebe Grüße
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 20:43 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
hmmm...
B= -1/8 ist klar
jedoch hab ich das nicht verstanden:
>
> Eine Lösung hast du vergessen.
>
> > [mm]x_{hom}[/mm] (t) = [mm]Acos(\wurzel{-1}[/mm] t ) [mm]+Bsin(\wurzel{-1}[/mm] t )
>
>
> Das ist nicht richtig.
> Ein komplexes Fundamentalsystem ist [mm]$\{\exp(it), \exp(-it) \}$,[/mm]
> demnach ist [mm]$\{\Re(\exp(it)), \Im(\exp(it)) \}[/mm] ein reelles
> FS.
Kannst du das vielleicht in anderen Worten erklären? Oder zeigen wie ich auf die richtige Lösung komme, vielleicht verstehe ich das an der Aufgabe wenn ich es sehe besser ....
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:33 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
Kann mir das sonst wer erklären ? Wäre sehr dankbar ...
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(Antwort) fertig | | Datum: | 22:00 Di 14.10.2014 | | Autor: | Teufel |
Hi!
Na, du hast doch schon das charakteristische Polynom der Gleichung aufgestellt, [mm] $f(s)=s^2+1$. [/mm] Das hat die Nullstellen $i$ und $-i$. Das bedeutet, dass [mm] e^{ix} [/mm] und [mm] e^{-ix} [/mm] eine Basis des Fundamentalsystems bilden.
Wenn du z.B. $x''(t)-x(t)=0$ lösen solltest, wäre das char. Polynom z.B. [mm] s^2-1 [/mm] mit den Nullstellen 1 und -1. Dann hätte das Fundamentalsystem die Basis [mm] \{e^{1*x}, e^{-1*x}\}.
[/mm]
Wie habt ihr das denn sonst immer gerechnet?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:58 Di 14.10.2014 | | Autor: | babflab |
Genauso haben wir es gemacht! Ich hab es total vergessen, vielen Dank, hab es in meinen Unterlagen wieder gefunden, jetzt macht alles Sinn!
danke ! Kann mich jetzt in ruhe schlafen legen :D
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