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| Aufgabe | Zur Zeit t=0 enthalte ein Tank [mm] Q_{0} [/mm] kg Salz in 100l gelöst.
Es fließe Wasser mit einer Konzentration von [mm] \bruch{1}{20} [/mm] kg Salz pro Liter und einer Fließgeschwindigkeit von 3 l/min in den Tank. Eine gut durchmischte Lösung verlasse ihn mit derselben Geschwindigkeit.
Wie groß ist die Salzmenge Q(t) zur Zeit t? |
Also ich hab mir bisher folgendes überlegt:
pro min fließen [mm] \bruch{3}{20} [/mm] kg Salz zu und [mm] \bruch{3Q(t)}{100} [/mm] kg ab
d.h. meine DGL lautet: [mm] Q'(t)=\bruch{3}{20} [/mm] - [mm] \bruch{3}{100}Q(t)
[/mm]
die Lösung der homogenen DGL ist dann: [mm] Q_{h}=Ce^{-\bruch{3}{100}t}
[/mm]
Die gesamte Lösung ist doch [mm] Q(t)=Q_{h}+Q_{s} [/mm] ?
Kann mir vielleicht jemand einen Tip geben wie ich an die spezielle Lösung
komme?
Ich denke mal, dass es nicht so wild sein wird, nur weiß ich das leider noch nicht, was man in solchen Fällen macht...
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Hi, jento...,
> Zur Zeit t=0 enthalte ein Tank [mm]Q_{0}[/mm] kg Salz in 100 l gelöst.
> Es fließe Wasser mit einer Konzentration von [mm]\bruch{1}{20}[/mm] kg Salz pro Liter
> und einer Fließgeschwindigkeit von 3 l/min in den Tank.
> Eine gut durchmischte Lösung verlasse ihn mit derselben Geschwindigkeit.
>
> Wie groß ist die Salzmenge Q(t) zur Zeit t?
> Also ich hab mir bisher folgendes überlegt:
>
> pro min fließen [mm]\bruch{3}{20}[/mm] kg Salz zu und
> [mm]\bruch{3Q(t)}{100}[/mm] kg ab
>
> d.h. meine DGL lautet: [mm]Q'(t)=\bruch{3}{20}[/mm] -
> [mm]\bruch{3}{100}Q(t)[/mm]
>
> die Lösung der homogenen DGL ist dann:
> [mm]Q_{h}=Ce^{-\bruch{3}{100}t}[/mm]
>
> Die gesamte Lösung ist doch [mm]Q(t)=Q_{h}+Q_{s}[/mm] ?
>
> Kann mir vielleicht jemand einen Tip geben wie ich an die
> spezielle Lösung
> komme?
Also; Ich gehe mal davon aus, dass Deine DGL richtig ist.
Sie hat dann die Form: y' + 0,03*y = 0,15
Demnach kann man als spezielle Lösung eine Konstante wählen und mit ein bisschen Probieren kommt man auf y = 5.
mfG!
Zwerglein
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