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| Aufgabe | Lösen sie
[mm] \integral{\bruch{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1} dx} [/mm] |
ich weiß gerade nicht wie ich hier die polynomdivision machen soll
[mm] (3x^4-2x^3-1):(x^3-x^2+x-1)=...
[/mm]
dividiere ich erstma [mm] \bruch{3x^4}{x^3}=3x
[/mm]
dann würde ich 3x mit [mm] (-x^2+x-1) [/mm] multiplizieren und das Ergebnis subtrahiere ich mit [mm] 2x^3
[/mm]
also [mm] 2x^3 [/mm] - [mm] (3x*(-x^2+x-1))
[/mm]
so wäre das richtig oder?
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Hallo,
> Lösen sie
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> [mm]\integral{\bruch{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1} dx}[/mm]
> ich weiß
> gerade nicht wie ich hier die polynomdivision machen soll
>
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> [mm](3x^4-2x^3-1):(x^3-x^2+x-1)=...[/mm]
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> dividiere ich erstma [mm]\bruch{3x^4}{x^3}=3x[/mm]
Ja, das ist ok.
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> dann würde ich 3x mit [mm](-x^2+x-1)[/mm] multiplizieren und das
> Ergebnis subtrahiere ich mit [mm]2x^3[/mm]
Du subtrahierst das mauch mit den anderen Potenzen.
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> also [mm]2x^3[/mm] - [mm](3x*(-x^2+x-1))[/mm]
>
> so wäre das richtig oder?
Polynomdivisionen sind immer recht unübersichtlich. Ich empfehle dir aber diese Seite:
http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm
Dort kannst du dir dein Beispiel vorrechnen lassen. Inklusive Erklärungen. Das sollte dir sicherlich helfen.
Schönen Abend!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:25 Di 29.07.2014 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Lösen sie
>
> [mm]\integral{\bruch{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1} dx}[/mm]
> ich weiß
> gerade nicht wie ich hier die polynomdivision machen soll
>
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> [mm](3x^4-2x^3-1):(x^3-x^2+x-1)=...[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
das ist gar nicht sonderlich schwer: Du fängst an mit
$(3x^4-2x^3-1)$ : $(x^3-x^2+x-1)$ = $3x$ + ...
wobei Du eigentlich die ... mit anderem Vorzeichen Dir gleich nach links denkt,
denn sie sind "Korrekturterme":
Du rechnest nämlich nun zurück und siehst dann, dass
$3x*(x^3-x^2+x-1)=3x^4-3x^3+3x^2-3x$ ist.
In diesem ersten Schritt hast Du dann eigentlich erkannt
$\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=3x+\frac{(-2x^3-1)-(-3x^3+3x^2-3x)+}{x^3-x^2+x-1}$
Das steckt dahinter, wenn Du schreibst:
$(3x^4-2x^3-1})$ : $(x^3-x^2+x-1)$ = $3x\,$
-$(3x^4-3x^3+3x^2-3x)$
---------------------------
$(-2x^3-1)-(-3x^3+3x^2-3x)$
Jetzt geht das Schema halt analog weiter. Nichts anderes macht man
übrigens, wenn man "schriftlich dividiert" - wobei das Ganze dann
natürlich an den 10er Potenzen orientiert ist, oben an den Monomen, wie
man *geschickt* dividiert. Ich zeig' Dir mal, wie man auch schriftlich dividieren
kann, auch, wenn es keiner so aufschreiben wird:
Wir wollen
105:7
berechnen: Wir schreiben mal
$105:7=10$+...
Jetzt sehen wir:
105:7=10*7+35, weil $35=105-10*7$
Also geht's weiter:
$105:7=10*7+\frac{35}{7}$
Also
$105:7=10*7+5*7=(10+5)*7=15*7\,.$
Das heißt, die ganze *Kunst* hier besteht darin, dass man sich anguckt,
wie die Differenz zu dem ist, was man haben will, wenn man *zurückrechnet*
und das man das Distributivitätgesetz anwenden kann.
Leider wird auf sowas nicht von jedem Lehrer (irgendwann) mal hingewiesen,
entsprechend wissen zwar viele, wie man schriftlich dividiert, aber noch
längst nicht alle, warum das, was sie machen, so auch funktioniert.
Zu Deiner Aufgabe:
Ich rechne jetzt einfach oben weiter bei
$((-2x^3-1)-(-3x^3+3x^2-3x))$ : $(x^3-x^2+x-1)$
bzw. ich vereinfache erst mal den ersten Term und rechne dann weiter:
$(x^3-3x^2+3x-1)$ : $(x^3-x^2+x-1)$ = $1+\frac{\blue{-2x^2+2x}}{x^3-x^2+x-1}$
-$(x^3-x^2+x-1)$
--------------------
$\blue{-2x^2+2x}$
Wenn Du das obige verstanden hast, sollte Dir nun klar sein
$\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=3x+1+\frac{\blue{-2x^2+2x}}{x^3-x^2+x-1}$
Das sieht jetzt erstmal blöd aus, aber Hingucken kann immer helfen:
$2x-2x^2=2x(1-x)\,.$
Der Zähler des letzten Summanden hat die Nullstellen $0\,$ und $1\,.$ $1\,$ ist
- setze es ein - auch eine Nullstelle des Nenners. Es liegt daher nahe, etwa
$(x^3-x^2+x-1)$ : $(x-1)$
(du könntest auch durch $(1-x)\,$ teilen!)
mit Polynomdivision zu berechnen (das MUSS aufgehen - warum?):
$x^2+1\,$ wird rauskommen.
Damit:
$\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=3x+1+\frac{\blue{-2x^2+2x}}{x^3-x^2+x-1}=3x+1+\frac{2x*(1-x)}{(x-1)*(x^2+1)}=3x+1+\frac{2x*\red{(1-x)}}{-\red{(x-1)}*(x^2+1)}$
Jetzt verwende das zur Integration! (Hinweis: Offensichtlich steht beim
letzten Term im Zähler die Ableitung des Nenners - und man weiß sowas
wie
$\ln(u(x))=\frac{u\,'(x)}{u(x)}$ ... .)
Gruß,
Marcel
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:32 Di 29.07.2014 | | Autor: | Marcel |
P.S.
Wenn man direkt sieht, dass [mm] $x=1\,$ [/mm] Nullstelle sowohl des Zählers als auch
des Nenners ist, liegt eigentlich folgendes nahe:
[mm] $\frac{3x^4-2x^3-1}{x^3-x^2+x-1}=\frac{z_\text{neu}(x)\;*(x-1)}{n_\text{neu}(x)\;*(x-1)}=\frac{z_\text{neu}(x)}{n_\text{neu}(x)}\,,$
[/mm]
wobei die Frage an Dich ist:
Was meine ich wohl mit [mm] $z_\text{neu}(x)$ [/mm] und [mm] $n_\text{neu}(x)$? [/mm] Und wie berechne
diese Terme wohl?
Hinweis:
[mm] $3x^4-2x^3-1=\frac{3x^4-2x^3-1}{x-1}\;*(x-1)=z_\text{neu}(x)\;*(x-1)$
[/mm]
Gruß,
Marcel
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