k ist eine ganze Zahl < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) reagiert/warte auf Reaktion  | | Datum: | 15:56 Di 08.12.2015 | | Autor: | mariem |
Hallo,
ich will folgende Implikation beweise:
k [mm] \in \mathbb{Z} \Leftrightarrow ce^x-1 \mid c^ke^{kx}-1
[/mm]
Für die Richtung [mm] \Leftarrow [/mm] habe ich folgendes versucht:
Wenn [mm] ce^x-1 \mid c^ke^{kx}-1, [/mm] dann haben wir dass die Nullstellen von [mm] $ce^x-1$ [/mm] auch Nullstellen von [mm] c^ke^{kx}-1 [/mm] sind.
Sei [mm] \alpha [/mm] eine Nullstelle von [mm] ce^x-1. [/mm]
Wir haben folgendes:
c [mm] e^{\alpha }=1 \Rightarrow e^{\alpha }=\frac{1}{c} \Rightarrow \alpha =\ln \left (\frac{1}{c}\right )+2n\pi [/mm] i, n [mm] \in \mathbb{Z}. [/mm]
Da [mm] ce^x-1 \mid c^ke^{kx}-1 [/mm] muss auch folgendes gelten:
[mm] c^k e^{k\alpha }=1 \Rightarrow e^{k\alpha }=\frac{1}{c^k} \Rightarrow k\alpha =\ln \left (\frac{1}{c^k}\right )+2m\pi [/mm] i [mm] \Rightarrow \alpha=\frac{1}{k} \ln \left (\frac{1}{c^k}\right )+\frac{2m\pi i }{k}, [/mm] m [mm] \in \mathbb{Z}. [/mm]
Wie folgt es daraus dass k [mm] \in \mathbb{Z} [/mm] ?
P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de und onlinemathe.de gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:29 Di 08.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> Hallo,
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> ich will folgende Implikation beweise:
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> k [mm]\in \mathbb{Z} \Leftrightarrow ce^x-1 \mid c^ke^{kx}-1[/mm]
Ich frage mich, was der Strich [mm] \mid [/mm] bedeutet ? Üblicherweise bedeutet a [mm] \mid [/mm] b: a ist ein Teiler von b. Das aber nur im Ring der ganzen Zahlen.
Hier sind jedoch [mm] ce^x-1 [/mm] und [mm] c^ke^{kx}-1 [/mm] keine ganzen Zahlen .
??????
FRED
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> Für die Richtung [mm]\Leftarrow[/mm] habe ich folgendes versucht:
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> Wenn [mm]ce^x-1 \mid c^ke^{kx}-1,[/mm] dann haben wir dass die
> Nullstellen von [mm]ce^x-1[/mm] auch Nullstellen von [mm]c^ke^{kx}-1[/mm]
> sind.
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> Sei [mm]\alpha[/mm] eine Nullstelle von [mm]ce^x-1.[/mm]
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>
> Wir haben folgendes:
>
> c [mm]e^{\alpha }=1 \Rightarrow e^{\alpha }=\frac{1}{c} \Rightarrow \alpha =\ln \left (\frac{1}{c}\right )+2n\pi[/mm]
> i, n [mm]\in \mathbb{Z}.[/mm]
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> Da [mm]ce^x-1 \mid c^ke^{kx}-1[/mm] muss auch folgendes gelten:
>
> [mm]c^k e^{k\alpha }=1 \Rightarrow e^{k\alpha }=\frac{1}{c^k} \Rightarrow k\alpha =\ln \left (\frac{1}{c^k}\right )+2m\pi[/mm]
> i [mm]\Rightarrow \alpha=\frac{1}{k} \ln \left (\frac{1}{c^k}\right )+\frac{2m\pi i }{k},[/mm]
> m [mm]\in \mathbb{Z}.[/mm]
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> Wie folgt es daraus dass k [mm]\in \mathbb{Z}[/mm] ?
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> P.S. Ich habe diese Frage auch in matheplanet.de und
> onlinemathe.de gestellt.
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 18:36 Di 08.12.2015 | | Autor: | mariem |
Wir betrachten den Ring [mm] \mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}]. [/mm]
Der Strich bedeutet Teilbarkeit in diesen Ring.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 21:36 Di 08.12.2015 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Wir betrachten den Ring [mm]\mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].[/mm]
Meinst du mit [mm] $e^{\lambda x}$ [/mm] die Funktion [mm] $\IC \to \IC$, [/mm] $x [mm] \mapsto e^{\lambda x}$?
[/mm]
> Der Strich bedeutet Teilbarkeit in diesen Ring.
Gerade deswegen ist es sehr wichtig, zu sagen, was genau der Ring ist. In [mm] $\IQ$ [/mm] ist 3 auch durch 4 teilbar. in [mm] $\IZ[1/2]$ [/mm] ebenfalls. In [mm] $\IZ$ [/mm] aber nicht.
LG Felix
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:27 Do 10.12.2015 | | Autor: | mariem |
> > Wir betrachten den Ring [mm]\mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].[/mm]
>
> Meinst du mit [mm]e^{\lambda x}[/mm] die Funktion [mm]\IC \to \IC[/mm], [mm]x \mapsto e^{\lambda x}[/mm]?
Die Elemente in diesen Ring sind in der Form
[mm] \sum_{i=0}^{N} \alpha_i e^{\lambda_i x} [/mm]
wobei [mm] \alpha_i, \lambda_i \in \mathbb{C}. [/mm]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:11 Do 10.12.2015 | | Autor: | fred97 |
> > > Wir betrachten den Ring [mm]\mathbb{C}[e^{\lambda x} \mid \lambda \in \mathbb{C}].[/mm]
> >
> > Meinst du mit [mm]e^{\lambda x}[/mm] die Funktion [mm]\IC \to \IC[/mm], [mm]x \mapsto e^{\lambda x}[/mm]?
>
> Die Elemente in diesen Ring sind in der Form
>
> [mm]\sum_{i=0}^{N} \alpha_i e^{\lambda_i x}[/mm]
>
> wobei [mm]\alpha_i, \lambda_i \in \mathbb{C}.[/mm]
>
>
>
Aha ! Sei R der obige Ring.
Es gelte also
$ [mm] ce^x-1 \mid c^ke^{kx}-1 [/mm] $ und wir hätten gerne k [mm] \in \IZ.
[/mm]
Ich darf von c [mm] \ne [/mm] 0 ausgehen, ja ?
Dann ex ein v [mm] \in \IC [/mm] mit [mm] c=e^v [/mm] und es ex. ein r [mm] \in [/mm] R mit
[mm] $e^{kv+kx}-1=(e^{v+x}-1)*r$
[/mm]
Wählt man $x:=2 [mm] \pi [/mm] i-v$, so liefert dies
(*) [mm] e^{2k \pi i}=1.
[/mm]
Bekannt sollte sein:
[mm] e^z=1 \gdw [/mm] $z [mm] \in \{ 2m \pi i: m \in \IZ\}$.
[/mm]
Dies und (*) liefern: es ex. ein $m [mm] \in \IZ$ [/mm] mit $2k [mm] \pi [/mm] i= 2m [mm] \pi [/mm] i$, also
$k=m [mm] \in \IZ$
[/mm]
FRED
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:36 So 13.12.2015 | | Autor: | mariem |
Ich verstehe...
Gilt auch [mm] k\in \mathbb{Z} \iff ce^x-1 \mid de^{kx}-1 [/mm] ?
( c, d [mm] \neq [/mm] 0 )
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:02 Mo 14.12.2015 | | Autor: | leduart |
Hallo
für allgemeines c,d nein
Gruß leduart
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:20 Do 10.12.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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