kommutativer Ring / Körper < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:27 Fr 16.05.2008 | | Autor: | tete |
| Aufgabe | Auf der Menge F={ [mm] f|f:\IR \to \IR [/mm] } von reelwertigen Funktionen werden zwei Verknüpfungen definiert durch
[mm] \forall [/mm] r [mm] \in \IR [/mm] : (f+g)(r) := f(r)+g(r)
[mm] \forall [/mm] r [mm] \in \IR [/mm] : (f*g)(r) := f(r)*g(r)
1. Ist (F,+,*) ein kommutativer Ring? Beweisen Sie Ihre Antwort.
2. Ist (F,+,*) ein Körper? Beweisen Sie Ihre Antwort. |
Hallo alle zusammen,
ich möchte von euch wissen, ob das folgende reicht zu zeigen.
Also zu 1. muss ich zeigen:
(I) (F,+) ist eine abelsche Gruppe [mm] \Rightarrow
[/mm]
(i) Abgeschlossenheit
(ii) Assoziativität bzgl. +
(iii) es gibt ein neutales Element bzgl. +
(iv) es gibt zu jedem Element ein Inverses
(v) (F,+) ist kommutativ
(II) (F,*) ist Assoziativ
(III) die Distributivgesetze gelten (reicht es hier eines zu zeigen,
wegen der Kommutativität?)
Bei 2. muss ich ja dann nur noch folgendes ergänzen, oder?
(I) Kommutativität bzgl. *
(II) es gibt ein neutrales Element bzgl. *
(III) es gibt zu jedem Element ein Inverses
Ich hoffe, das es alles ist was ich zeigen muss, kann mir bitte einer von euch sagen, wenn etwas fehlt?!
Eine Frage noch, kann man davon ausgehen, dass jeder Körper ein kommutativer Ring ist und gibt es eigentlich nicht kommutative Ringe, ich habe gelesen, dass in jedem Ring die Kommutativität gelten muss, d.h. aber doch gerade, dass jeder Ring kommutativ ist.
Ich danke euch schonmal für eure Mühe ...
LG tete ![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:43 Fr 16.05.2008 | | Autor: | Merle23 |
> Auf der Menge F = { [mm] f|f:\IR \to \IR [/mm] } von reelwertigen
> Funktionen werden zwei Verknüpfungen definiert durch
> [mm]\forall[/mm] r [mm]\in \IR[/mm] : (f+g)(r) := f(r)+g(r)
> [mm]\forall[/mm] r [mm]\in \IR[/mm] : (f*g)(r) := f(r)*g(r)
>
> 1. Ist (F,+,*) ein kommutativer Ring? Beweisen Sie Ihre
> Antwort.
> 2. Ist (F,+,*) ein Körper? Beweisen Sie Ihre Antwort.
> Hallo alle zusammen,
>
> ich möchte von euch wissen, ob das folgende reicht zu
> zeigen.
>
> Also zu 1. muss ich zeigen:
>
> (I) (F,+) ist eine abelsche Gruppe [mm]\Rightarrow[/mm]
> (i) Abgeschlossenheit
> (ii) Assoziativität bzgl. +
> (iii) es gibt ein neutales Element bzgl. +
> (iv) es gibt zu jedem Element ein Inverses
> (v) (F,+) ist kommutativ
> (II) (F,*) ist Assoziativ
> (III) die Distributivgesetze gelten (reicht es hier eines
> zu zeigen,
> wegen der Kommutativität?)
>
Es fehlt die Abgeschlossenheit bzgl. *.
Da es ein kommutativer Ring sein soll musst du noch die Kommutativität von * zeigen.
Wegen der Frage in der Klammer beim Distributivgesetz.... ja, wenn die Multiplikation kommutativ ist, dann reicht es nur eins zu zeigen.
> Bei 2. muss ich ja dann nur noch folgendes ergänzen, oder?
> (I) Kommutativität bzgl. *
> (II) es gibt ein neutrales Element bzgl. *
> (III) es gibt zu jedem Element ein Inverses
>
(I) musst du schon bei der 1. Frage zeigen.
Es bleiben also wirklich nur noch (II) und (III) übrig.
>
> Ich hoffe, das es alles ist was ich zeigen muss, kann mir
> bitte einer von euch sagen, wenn etwas fehlt?!
> Eine Frage noch, kann man davon ausgehen, dass jeder
> Körper ein kommutativer Ring ist und gibt es eigentlich
> nicht kommutative Ringe, ich habe gelesen, dass in jedem
> Ring die Kommutativität gelten muss, d.h. aber doch gerade,
> dass jeder Ring kommutativ ist.
Ja, jeder Körper ist ein kommutativer Ring.
Ja, es gibt nicht kommutative Ringe (z.B. der Ring der quadratischen Matrizen). In jedem Ring muss die Kommutativität der Addition gelten, aber nicht die der Multiplikation.
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> Ich danke euch schonmal für eure Mühe ...
>
> LG tete
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:53 Fr 16.05.2008 | | Autor: | tete |
Hallo Merle,
vielen Dank für deine schnelle Antwort!
Dann werde ich noch die Abgeschlossenheit bzgl.* zeigen und die Kommutativität bzgl. * "verschieben"
LG tete
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