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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:59 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo nochmal!
Ich hoffe mal, dass ich jetzt hier in der Funktionentheorie richtig bin - wo meine letzten beiden Fragen nach hier verschoben wurden und ich sie beinahe vermisst hätte. 
Ich soll hier noch ein paar Sachen zeigen, die wohl eigentlich ziemlich trivial sind. Die ersten beiden Aufgaben habe ich auch problemlos hinbekommen - aber vielleicht kann trotzdem mal kurz jemand drüber schauen, ob man sie auch genau so aufschreiben kann.
[Dateianhang nicht öffentlich]
[Dateianhang nicht öffentlich]
Bei der dritten habe ich schon mal folgende Frage:
Ist [mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial{x^2}} [/mm] das Gleiche wie [mm] \bruch{\partial^2{f}}{\partial^2{x}}? [/mm] Ich meine schon, es ist nur eine andere Schreibweise, oder nicht?
(Und noch eine kleine Frage: Wenn ich zweimal ableite, einmal nach z und einmal nach [mm] \overline{z}, [/mm] wie schreibe ich es dann, wenn ich zuerst nach z ableite? [mm] \partial{z}\partial{\overline{z}} [/mm] oder genau andersherum?)
[Dateianhang nicht öffentlich]
Und bei der vierten bin ich mir schon am Anfang nicht ganz sicher (siehe das Fragezeichen über dem Gleichheitszeichen), und ich weiß nicht weiter. Was soll denn überhaupt das w bedeuten? Wo kommt das denn her?
Viele Grüße
Bastiane
![[banane]](/images/smileys/banane.gif "[banane]")
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 2 (Typ: png) [nicht öffentlich]
Anhang Nr. 3 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:56 Mi 04.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
> [Dateianhang nicht öffentlich]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> [Dateianhang nicht öffentlich]
> Bei der dritten habe ich schon mal folgende Frage:
> Ist [mm]\bruch{\partial^2{f}}{\partial{x^2}}[/mm] das Gleiche wie
> [mm]\bruch{\partial^2{f}}{\partial^2{x}}?[/mm] Ich meine schon, es
> ist nur eine andere Schreibweise, oder nicht?
Ja, das sind nur verschiedene Schreibweisen.
> (Und noch eine kleine Frage: Wenn ich zweimal ableite,
> einmal nach z und einmal nach [mm]\overline{z},[/mm] wie schreibe
> ich es dann, wenn ich zuerst nach z ableite?
> [mm]\partial{z}\partial{\overline{z}}[/mm] oder genau andersherum?)
Nein, andersherum. Diesen Teil musst du noch einmal neu aufschreiben, ![[sorry]](/images/smileys/sorry.gif "[sorry]") .
> [Dateianhang nicht öffentlich]
>
> Und bei der vierten bin ich mir schon am Anfang nicht ganz
> sicher (siehe das Fragezeichen über dem
> Gleichheitszeichen), und ich weiß nicht weiter. Was soll
> denn überhaupt das w bedeuten? Wo kommt das denn her?
Es ist nur eine andere Bezeichnung. Es wird sozusagen wieder nach "z" abgeleitet, nur will man den Buchstaben nicht noch einmal verwenden, da es verwirrend wäre. Meistens schreibt man $w=f(z)$, und da man sich im Bildbereich von $f$ (und Urbildbereich von $g$) befindet, nimmt man dann intuitiv $w$.
Der Beweis von 4) ist stumpfsinnige Rechnerei. Er bringt dir nichts für's Verständnis.
Daher gebe ich die Lösung einfach mal an:
![[]](/images/popup.gif) http://www.mathematik.uni-marburg.de/~alldridg/vl/ft1/ft1-lsg1.pdf, letzte Aufgabe dort.
Man nennt die Ableitungen [mm] $\frac{\partial f}{\partial z}$ [/mm] und [mm] $\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}$ [/mm] im Übrigen auch Wirtinger-Ableitungen und dies ist eine Kettenregel für Wirtinger-Ableitungen.
Eine absolute Standardaufgabe, die jeder im vierten Semester einmal rechnen muss.
Schreibe sie aber vielleicht etwas anders auf als im Link, dort finde ich die Notation bescheiden. Schreibe lieber richtig schöne partielle Ableitungen!
Liebe Grüße
Stefan
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:22 Do 05.05.2005 | | Autor: | Bastiane |
Lieber Stefan!
Danke für die Antwort! Irgendwie gefallen mir die Aufgaben im Moment! 
> > (Und noch eine kleine Frage: Wenn ich zweimal ableite,
> > einmal nach z und einmal nach [mm]\overline{z},[/mm] wie schreibe
> > ich es dann, wenn ich zuerst nach z ableite?
> > [mm]\partial{z}\partial{\overline{z}}[/mm] oder genau andersherum?)
>
> Nein, andersherum. Diesen Teil musst du noch einmal neu
> aufschreiben, .
Aber das bleibt doch dann quasi alles genauso, nur dass die zwei dann halt vertauscht sind, oder?
> > [Dateianhang nicht öffentlich]
> >
> > Und bei der vierten bin ich mir schon am Anfang nicht ganz
> > sicher (siehe das Fragezeichen über dem
> > Gleichheitszeichen), und ich weiß nicht weiter. Was soll
> > denn überhaupt das w bedeuten? Wo kommt das denn her?
>
> Es ist nur eine andere Bezeichnung. Es wird sozusagen
> wieder nach "z" abgeleitet, nur will man den Buchstaben
> nicht noch einmal verwenden, da es verwirrend wäre.
> Meistens schreibt man [mm]w=f(z)[/mm], und da man sich im
> Bildbereich von [mm]f[/mm] (und Urbildbereich von [mm]g[/mm]) befindet, nimmt
> man dann intuitiv [mm]w[/mm].
>
> Der Beweis von 4) ist stumpfsinnige Rechnerei. Er bringt
> dir nichts für's Verständnis.
>
> Daher gebe ich die Lösung einfach mal an:
>
> http://www.mathematik.uni-marburg.de/~alldridg/vl/ft1/ft1-lsg1.pdf,
> letzte Aufgabe dort.
Leider verstehe ich das da nicht so ganz. Die Schreibweise ist etwas gewöhnungsbedürftig, aber ich verstehe auch schon am Anfang nicht, wieso die mit der Kettenregel und eine Matrix anfangen...
Ich dachte eigentlich, dass das genau die Kettenregel ist, die ich da zeigen muss, aber dass das für Wirtinger Ableitungen sein soll... Wo liegt denn da der Unterschied? Bzw. was ist denn das, was ich eigentlich dachte?
Du brauchst mir jetzt nicht die ganze Aufgabe nochmal schön hier hin zu tippen, aber vielleicht kannst du mir erklären, was das da mit dem z und dem w auf sich hat. Also das ist doch jetzt die Ableitung von der Verknüpfung der beiden Funktionen nach der Variablen des "ersten" Definitionsbereiches. Und die berechnet man dann durch die Ableitung der zweiten Funktion nach der Variablen dieses Definitionsbereches (also ich meine damit eine Variable aus dem Def.bereich...), und das angewendet auf die Ableitung der ersten Funktion nach der Variablen dieses Def.bereiches. Oder wie? Sorry, wenn ich mich irgendwie schlecht ausdrücke, ich weiß selbst nicht so ganz, wo mein Verständnisproblem liegt...
> Man nennt die Ableitungen [mm]\frac{\partial f}{\partial z}[/mm] und
> [mm]\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}[/mm] im Übrigen auch
> Wirtinger-Ableitungen und dies ist eine Kettenregel für
> Wirtinger-Ableitungen.
Okay - danach werde ich jetzt mal suchen.
> Schreibe sie aber vielleicht etwas anders auf als im Link,
> dort finde ich die Notation bescheiden. Schreibe lieber
> richtig schöne partielle Ableitungen!
Auf jeden Fall! So verstehe ich das ja selber nicht!
Viele Grüße
Christiane
![[sunny]](/images/smileys/sunny.gif "[sunny]")
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:06 Do 05.05.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Ich fange mal an mit der Aufgabe, damit du weißt, wie es geht.
Ich schreibe;
$g=p+iq$,
$f=u+iv$,
$w=(u,v),$
$z=(x,y)$.
Dann gilt gemäß der bekannten reellen Kettenregel für Funktionen [mm] $h:\IR^2 \to \IR^2$:
[/mm]
[mm] $\frac{\partial (g \circ f)}{\partial z}(z)$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x}(g \circ f)(z) - i\, \frac{\partial}{\partial y}(g \circ f)(z) \right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial u}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}u(z) + \frac{\partial}{\partial v}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}v(z) + i\, \frac{\partial}{\partial u}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}u(z) + i\, \frac{\partial}{\partial v}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}v(z) -i\, \left( \frac{\partial}{\partial u}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}u(z) + \frac{\partial}{\partial v}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}v(z) + i\, \frac{\partial}{\partial u}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}u(z) + i\, \frac{\partial}{\partial v}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}v(z)\right) \right)$
[/mm]
$= [mm] \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial u}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}u(z) + \frac{\partial}{\partial v}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}v(z) + \frac{\partial}{\partial u}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}u(z) + \frac{\partial}{\partial v}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}v(z) + i\, \left( \frac{\partial}{\partial u}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}u(z) + \frac{\partial}{\partial v}q(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial x}v(z) - \frac{\partial}{\partial u}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}u(z) - \frac{\partial}{\partial v}p(f(z)) \cdot \frac{\partial}{\partial y}v(z) \right) \right)$.
[/mm]
So, und jetzt rechnest du die andere Seite aus und siehst, dass genau das Gleiche rauskommt.
Das ist in dem Link aber auch alles genau vorgerechnet. Vielleicht findest du meine obige Zeile dort ja wieder. Alles was dananch kommt, musst du jetzt nur abschreiben (in meiner obigen Notation). Das schaffst du sicher. Ich habe jetzt nämlich noch anderes zu tun und kann nicht mehr helfen.
Liebe Grüße
Stefan
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![[winken]](/images/smileys/winken.gif "[winken]"){kind=small}
