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komplex differenzierbar: Ansatz richtig?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 01:02 Mi 04.05.2005
Autor: Bastiane

Hallo nochmal!
Nun soll ich überprüfen, ob gewisse Funktionen [mm] f:\IC\to\IC [/mm] komplex diffbar sind. Ist es richtig, dass sie dann die Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung erfüllen müssen (also dass das äquivalent ist)?
Dann haben wir diese Gleichung folgendermaßen aufgeschrieben:

[mm] \bruch{\partial f}{\partial y}=i\bruch{\partial f}{\partial x} [/mm]

Sonst finde ich aber überall folgende "Definition":
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x}=-i\bruch{\partial f}{\partial y} [/mm]

Ist das vielleicht das Gleiche? Oder muss beides gelten? Oder haben wir etwa was falsch aufgeschrieben?

Ach ja, und dann direkt noch eine Frage: ist komplex differenzierbar dasselbe wie holomorph? Wenn ja, warum gibt es dann zwei Begriffe für ein und dasselbe?

Ich glaub', das war's erstmal ;-)

Viele Grüße und [gutenacht]
Bastiane
[winken]




        
Bezug
komplex differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 07:35 Mi 04.05.2005
Autor: Micha

Hallo Chrissy!

> Hallo nochmal!
>  Nun soll ich überprüfen, ob gewisse Funktionen [mm]f:\IC\to\IC[/mm]
> komplex diffbar sind. Ist es richtig, dass sie dann die
> Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung erfüllen müssen
> (also dass das äquivalent ist)?

[ok] Ja!

>  Dann haben wir diese Gleichung folgendermaßen
> aufgeschrieben:
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=i\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm]
>  
> Sonst finde ich aber überall folgende "Definition":
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=-i\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
>  
> Ist das vielleicht das Gleiche? Oder muss beides gelten?
> Oder haben wir etwa was falsch aufgeschrieben?

Ich denke es muss beides gelten. Schau mal hier:
http://www.math.tu-berlin.de/~ferus/ANA/Ana3.pdf auf Seite 137 (Seite 131 interne Zählung).

>  
> Ach ja, und dann direkt noch eine Frage: ist komplex
> differenzierbar dasselbe wie holomorph? Wenn ja, warum gibt
> es dann zwei Begriffe für ein und dasselbe?

Ja der Begriff holomorph bedeutet komplex differenzierbar. Vielleicht gibt es den begriff weil es kürzer ist als komplex differenzierbar, oder er liegt im Ursprung der Funktionalanalysis. Da bin ich aber nicht sicher...

>  
> Ich glaub', das war's erstmal ;-)
>  
> Viele Grüße und [gutenacht]
>  Bastiane
>  [winken]
>  

Schönen Tag,

Gruß Micha ;-)

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Bezug
komplex differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:16 Mi 04.05.2005
Autor: Micha

Hallo Stefan!

Warum hast du die Antwort als fehlerhaft markiert? Das was ich nicht sicher weiss habe ich doch denke ich ausreichend kenntlich gemacht... oo

Gruß Micha

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Bezug
komplex differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:19 Mi 04.05.2005
Autor: Stefan

Lieber Micha!

Ja, okay, ich kann es auch wieder rückgängig machen. Ich wollte nur deutlich machen, dass es eben nicht zwei getrennte Gleichungen sind und hoffte, dass Christiane so eher darauf aufmerksam wird.

Aber jetzt hat es Christiane ja gesehen, und daher mache ich es jetzt wieder rückgängig. :-)

Liebe Grüße
Stefan

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Bezug
komplex differenzierbar: Korrekturen
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 08:43 Mi 04.05.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane, lieber Micha!

>  Nun soll ich überprüfen, ob gewisse Funktionen [mm]f:\IC\to\IC[/mm]
> komplex diffbar sind. Ist es richtig, dass sie dann die
> Cauchy-Riemannsche Differentialgleichung erfüllen müssen
> (also dass das äquivalent ist)?

[ok]

>  Dann haben wir diese Gleichung folgendermaßen
> aufgeschrieben:
>  
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}=i\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm]
>  
> Sonst finde ich aber überall folgende "Definition":
>  [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}=-i\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm]
>  
> Ist das vielleicht das Gleiche? Oder muss beides gelten?
> Oder haben wir etwa was falsch aufgeschrieben?

Beides ist das Gleiche!!

Sei $f=g+ih$. Dann bedeutet das erste:

[mm] $\frac{\partial g}{\partial y} [/mm] + [mm] i\, \frac{\partial h}{\partial y} [/mm] = i [mm] \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial x} + i\, \frac{\partial h}{\partial x} \right)$, [/mm]

also:

[mm] $\left( \frac{\partial g}{\partial y} + \frac{\partial h}{\partial x} \right) [/mm] + i [mm] \cdot \left( \frac{\partial h}{\partial y}- \frac{\partial g}{\partial x} \right) [/mm] =0$.

Dann müssen aber Real- und Imaginärteil gleich $0$ sein, d.h. es muss gelten:

[mm] $\frac{\partial g}{\partial y} [/mm] = - [mm] \frac{\partial h}{\partial x}$ [/mm]

und

[mm] $\frac{\partial h}{\partial y} [/mm] = [mm] \frac{\partial g}{\partial x}$. [/mm]

Das zweite bedeutet:

[mm] $\frac{\partial g}{\partial x} [/mm] + [mm] i\, \frac{\partial h}{\partial x} [/mm] = -i [mm] \cdot \left( \frac{\partial g}{\partial y} + i\, \frac{\partial h}{\partial y} \right)$, [/mm]

also:

[mm] $\left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial h}{\partial y} \right) [/mm] + i [mm] \cdot \left( \frac{\partial h}{\partial x}+ \frac{\partial g}{\partial y} \right) [/mm] =0$.

Dann müssen aber Real- und Imaginärteil gleich $0$ sein, d.h. es muss gelten:

[mm] $\frac{\partial g}{\partial x} [/mm] =  [mm] \frac{\partial h}{\partial y}$ [/mm]

und

[mm] $\frac{\partial h}{\partial x} [/mm] = [mm] -\frac{\partial g}{\partial y}$. [/mm]

Das ist das Gleiche wie oben! :-)

> Ach ja, und dann direkt noch eine Frage: ist komplex
> differenzierbar dasselbe wie holomorph? Wenn ja, warum gibt
> es dann zwei Begriffe für ein und dasselbe?

Man sagt häufig, dass eine Funktion holomorph in einem Punkt ist, wenn sie in einer Umgebung des Punktes komplex differenzierbar ist. Eine Funktion, die in jedem Punkt komplex differenzierbar ist, wird gemeinhin als holomorph bezeichnet.

Liebe Grüße
Stefan  


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komplex differenzierbar: Fettnäpfchen??
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 00:52 Do 05.05.2005
Autor: Peter_Pein

Hi Stefan,

ich habe mich in den letzten Tagen schon einige Male erfolgreich auf Fettnäpfchensuche begeben - langsam finde ich Gefallen daran ;-).

Wäre es wirklich (mal wieder) zu einfach, die CR-Dgl in der ersten Form mit $- i$ zu multiplizieren, um auf die zwote zu kommen?

Gespannt, warum das so ist,
wartet mit lieben Grüßen und eingezogenem Kopf

  Peter


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komplex differenzierbar: Bei mir nicht...
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 10:08 Do 05.05.2005
Autor: Stefan

Lieber Peter!

Nein, du trittst in überhaupt kein Fettnäpfchen und hast zudem vollkommen Recht. Ich hatte das auch so gesehen, wollte aber bei dieser Gelegenheit "nebenbei" erklären, was diese Wirtinger-Ableitungen eigentlich bedeuten und die reellen CR-Differentialgleichungen herleiten.

Es war eher (ob du es jetzt glaubst oder nicht, aber es war wirklich so) ein didaktischer Grund es anders zu machen.

Ich bin für solche Hinweise aber immer sehr dankbar, und bei mir kannst du auf diese Weise in kein Fettnäpfchen treten. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

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komplex differenzierbar: Aufgaben: richtig so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 13:26 Mi 04.05.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan, lieber Micha!
Schon mal danke für eure Antworten - das Skript habe ich mir mal direkt gespeichert und Stefans Rechnung konnte ich auch sehr schön nachvollziehen.

Hier nun meine Aufgaben - seltsamerweise habe ich raus, dass sie alle nicht komplex diffbar sind, das wundert mich etwas, deswegen wäre es schön, wenn das jemand mal nachprüfen könnte.

ich setze mal z=x+iy

[mm] f(z)=z\overline{z} [/mm] = (x+iy)(x-iy) = [mm] x^2+y^2 [/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = 2y
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = i2x

da [mm] i2x\not=2y [/mm] ist diese Funktion nicht komplex diffbar

[mm] f(z)=z^2\overline{z} [/mm] = [mm] (x^2+2iy-y^2)(x-iy) [/mm] = [mm] x^3-ix^2y+2ixy+2y^2-xy^2+iy^3 [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = [mm] -ix^2+2ix+4y-2xy+3iy^2 [/mm]
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = [mm] 3ix^2+2xy-2y-iy^2 [/mm]

Auch hier ist [mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} \not= i\bruch{\partial f}{\partial{x}}, [/mm] also ist auch diese Funktion nicht komplex diffbar.

f(z)=Im z = y
[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = 1
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = 0

Hier ist ebenfalls [mm] 1\not=0, [/mm] also ist auch diese Funktion nicht komplex diffbar. (oder muss man Im z schreiben als [mm] \bruch{z-\overline{z}}{2i}, [/mm] wenn ja, wieso?)

f(z)= [mm] (\cos^2x-\sin^2y)-2i\cos{x}\sin{y} [/mm]

[mm] \bruch{\partial f}{\partial{y}} [/mm] = [mm] -\sin{2y}-2i\cos{x}\cos{y} [/mm]
[mm] i\bruch{\partial f}{\partial{x}} [/mm] = [mm] -\sin{2x}+2i\sin{y}\sin{x} [/mm]

Und hier ist es nicht anders, als bei den vorherigen Aufgaben auch, und somit ist auch diese Funktion nicht komplex diffbar.
Habe ich hier einen allgemeinen Fehler? Oder nur irgendwo einen Rechenfehler? Oder sind wirklich alle diese Funktionen nicht komplex diffbar...

Viele Grüße
Christiane
[cap]




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Bezug
komplex differenzierbar: Alles richtig
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:29 Mi 04.05.2005
Autor: Paulus

Liebe Christian

meiner Meinung nach ist alles richtig gerechnet. Offenbar ging es bei dieser Übung auch darum zu demonstrieren, wie leicht es ist, stetige Funktionen von [mm] $\IC \to \IC$ [/mm] zu finden, die nicht differenzierbar sind.

Und... wenn du schon $z=x+iy$ schreibst, dann musst du keinesfalls schreiben:

[mm] $Im(z)=\bruch{z-\overline{z}}{2i}$ [/mm]

Wozu auch.

Klar könnte man das auch so zeigen:

[mm] $f(z)=\bruch{z-\overline{z}}{2i}=\bruch{z}{2i}-\bruch{\overline{z}}{2i}=\bruch{1}{2}\overline{z}-\bruch{i}{2}z$ [/mm]

Somit:

[mm] $f(z)'=\bruch{1}{2}*\bruch{\delta\overline{z}}{\delta z}-\bruch{i}{2}$ [/mm]

Und weil man bereits früher ;-) mal nachgewiesen hat, dass die Funktion [mm] $\overline{z}$ [/mm] nicht auf ganz [mm] $\IC$ [/mm] differenzierbar ist, ist es $f(z)_$ auch nicht. :-)

Mit lieben Grüssen

Paul

Bezug
                        
Bezug
komplex differenzierbar: Danke. :-)
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:05 Mi 04.05.2005
Autor: Bastiane

Lieber Paul!

Danke, dass du dir diese Aufgabe mal angeguckt hast!
Ich meine zwar heute noch in der Vorlesung gehört zu haben, dass so ziemlich alle Funktionen komplex diffbar sind, aber vielleicht meinte er damit nur so Sachen wie [mm] \sin [/mm] und [mm] \cos, \arccos, \tanh [/mm] usw. usw....;-)

Viele Grüße
Christiane
[cap]


Bezug
                                
Bezug
komplex differenzierbar: Vorsicht!
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 17:09 Mi 04.05.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

Bist du dir sicher, dass wirklich alle Funktionen an keiner Stelle komplex differenzierbar sind?

Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner Stelle. ;-)

Liebe Grüße
Stefan

Bezug
                                        
Bezug
komplex differenzierbar: so?
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:57 Do 05.05.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!
  

> Bist du dir sicher, dass wirklich alle Funktionen an keiner
> Stelle komplex differenzierbar sind?

Habe ich irgendwo behauptet, dass sie an keiner Stelle diffbar sind? Die Fragestellung hieß:
Sind die folgenden Funktionen [mm] f:\IC\to\IC [/mm] komplex differenzierbar:

Aber ich hab's mir nochmal angeguckt:
also, die erste ist nur bei 0 diffbar, die zweite ist auch in 0 diffbar, ich war allerdings zu faul zu gucken, ob es die einzige Stelle ist..., die dritte ist nirgendwo diffbar und die vierte glaube ich auch nicht - jedenfalls wüsste ich so spontan nicht, wo sie diffbar sein könnte.
Aber meinst du, das war in der Aufgabenstellung noch gefragt?

> Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner
> Stelle. ;-)

Das hört sich so an, als wäre das klar, nur ich wäre zu blöd dazu gewesen! ;-) Aber jetzt hab' ich ja nochmal drüber nachgedacht.

Viele Grüße
Christiane
[winken]




Bezug
                                                
Bezug
komplex differenzierbar: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:03 Do 05.05.2005
Autor: Stefan

Liebe Christiane!

> > Bist du dir sicher, dass wirklich alle Funktionen an keiner
> > Stelle komplex differenzierbar sind?
>  
> Habe ich irgendwo behauptet, dass sie an keiner Stelle
> diffbar sind? Die Fragestellung hieß:
>  Sind die folgenden Funktionen [mm]f:\IC\to\IC[/mm] komplex
> differenzierbar:

Das stimmt schon. Aber das sollte (vermutlich) implizieren zu schauen, an welchen Stellen sie denn komplex differenzierbar sind.  

> Aber ich hab's mir nochmal angeguckt:
>  also, die erste ist nur bei 0 diffbar, die zweite ist auch
> in 0 diffbar, ich war allerdings zu faul zu gucken, ob es
> die einzige Stelle ist..., die dritte ist nirgendwo diffbar
> und die vierte glaube ich auch nicht - jedenfalls wüsste
> ich so spontan nicht, wo sie diffbar sein könnte.
>  Aber meinst du, das war in der Aufgabenstellung noch
> gefragt?

Ich denke schon. Aber das weiß natürlich nur der Aufgabesteller. ;-) Wenn man die Aufgabenstellung wörtlich nimmt, dann hast du natürlich Recht.
  

> > Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner
> > Stelle. ;-)
>  Das hört sich so an, als wäre das klar, nur ich wäre zu
> blöd dazu gewesen! ;-)

[haee] Also, ich weiß jetzt nicht, wie man das da rauslesen kann. [kopfkratz3] Ich wollte dich nur mal dazu anregen dir die Gleichungen etwas genauer anzuschauen. Es kann ja auf jeden Fall nicht schaden es genauer zu untersuchen. Punktabzug wird es dafür mit Sicherheit nicht geben.

Liebe Grüße
Stefan


Bezug
                                                        
Bezug
komplex differenzierbar: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:38 Do 05.05.2005
Autor: Bastiane

Lieber Stefan!

> > Aber ich hab's mir nochmal angeguckt:
>  >  also, die erste ist nur bei 0 diffbar, die zweite ist
> auch
> > in 0 diffbar, ich war allerdings zu faul zu gucken, ob es
> > die einzige Stelle ist..., die dritte ist nirgendwo diffbar
> > und die vierte glaube ich auch nicht - jedenfalls wüsste
> > ich so spontan nicht, wo sie diffbar sein könnte.
>  >  Aber meinst du, das war in der Aufgabenstellung noch
> > gefragt?
>  
> Ich denke schon. Aber das weiß natürlich nur der
> Aufgabesteller. ;-) Wenn man die Aufgabenstellung wörtlich
> nimmt, dann hast du natürlich Recht.

Ist das denn jetzt richtig, was ich da geschrieben habe?
    

> > > Ich würde da lieber noch einmal drüber nachdenken an deiner
> > > Stelle. ;-)
>  >  Das hört sich so an, als wäre das klar, nur ich wäre zu
> > blöd dazu gewesen! ;-)
>
> [haee] Also, ich weiß jetzt nicht, wie man das da rauslesen
> kann. [kopfkratz3] Ich wollte dich nur mal dazu anregen dir
> die Gleichungen etwas genauer anzuschauen. Es kann ja auf
> jeden Fall nicht schaden es genauer zu untersuchen.
> Punktabzug wird es dafür mit Sicherheit nicht geben.

Ehrlich gesagt, verstehe ich auch nicht, wie ich das da rausgelesen habe. Aber ich habe es ja auch nicht böse aufgefasst - ist natürlich gut, wenn ich mir die Sachen nochmal genauer angucke. :-) Aber Punkteabzug könnte es geben, wenn ich da was verkehrtes hinschreibe, auch wenn es nicht gefragt war, oder nicht?

Viele Grüße
Christiane
[sunny]


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