konvergente Folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:27 Do 30.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
| Aufgabe | | Sei [mm] (a_{n})_{n \in \IN} [/mm] eine monoton wachsende Folge reeller Zahlen. Diese Folge besitze eine Cauchy-Folge als Teilfolge [mm] (a_{n_{k}})_{k \in \IN}. [/mm] Zeigen Sie: Die Folge [mm] (a_{n})_{n} [/mm] ist konvergent |
Hallo,
Also irre ich mich oder geht der Bweis hier wirklich ganz kurz: Eine Cauchy-Folge hat doch die Eigenschaft konvergente Folge zu sein, also ist die Teilfolge konvergent. Das heißt aber insbesondere nach Satz von Bolzano-Weierstraß, dass die Folge [mm] (a_{n})_{n} [/mm] beschränkt ist.
Und aus Monotonie+ Beschränktheit [mm] \Rightarrow [/mm] Konvergenz.
[mm] \Box
[/mm]
Stimmt das so weit?
Viele Grüße
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:42 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](a_{n})_{n \in \IN}[/mm] eine monoton wachsende Folge
> reeller Zahlen. Diese Folge besitze eine Cauchy-Folge als
> Teilfolge [mm](a_{n_{k}})_{k \in \IN}.[/mm] Zeigen Sie: Die Folge
> [mm](a_{n})_{n}[/mm] ist konvergent
> Hallo,
> Also irre ich mich oder geht der Bweis hier wirklich ganz
> kurz: Eine Cauchy-Folge hat doch die Eigenschaft
> konvergente Folge zu sein, also ist die Teilfolge
> konvergent. Das heißt aber insbesondere nach Satz von
> Bolzano-Weierstraß, dass die Folge [mm](a_{n})_{n}[/mm] beschränkt
> ist.
Nein ! Bolzano-Weierstraß besagt: eine beschränkte Folge enthält eine konvergente Teilfolge.
Die Folge (0,1,0,2,0,3,0,4,0, ..) ist nicht beschränkt, enthält aber eine konvergente Teilfolge.
Zu Deiner Aufgabe:
Die Folge [mm] (a_{n_{k}}) [/mm] ist als Cauchyfolge konvergent. Sei a ihr Grenzwert.
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0. Dann gibt es ein [mm] k_0 [/mm] mit
[mm] a-\varepsilon [/mm] < [mm] a_{n_{k}} [/mm] < [mm] a+\varepsilon [/mm] für k> [mm] k_0
[/mm]
Wie mußt Du nun N wählen, damit gilt:
[mm] a-\varepsilon [/mm] < [mm] a_n [/mm] < [mm] a+\varepsilon [/mm] für n> N ?
FRED
> Und aus Monotonie+ Beschränktheit [mm]\Rightarrow[/mm] Konvergenz.
> [mm]\Box[/mm]
> Stimmt das so weit?
>
> Viele Grüße
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:52 Do 30.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Danke,
dann nehm ich doch einfach mal [mm] N=k_{0}, [/mm] dann sollte es doch passen?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:56 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Danke,
> dann nehm ich doch einfach mal N=k, dann sollte es doch
> passen?
Quatsch ! Wie wärs mit ein wenig nachdenken und die Vor. der Monotonie ins Spiel bringen ?
FRED
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:17 Do 30.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Sorry, aber ich steh gerade komplett aufm Schlauch, weiß echt nicht wie ich die Monotonie ins Spiel bringe. Anschaulich is es mir völlig klar, dass ne monoton wachsende Folge mit konvergenter Teilfolge konvergent sein muss, weil die Teilfolge ebenso monoton wächst und beschränkt sein muss, was wieder zur Konvergenz führt. Das heißt doch aber, dass unendlich viele Glieder der Teilfolge in ner Epsilon-Umgebung liegen, und somit auch unendlich viele Glieder der kompletten Folge, da diese monoton ist.
Hoffe jmd. kann mir noch nen Denkanstoß geben
Viele Grüße
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:32 Do 30.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Wir verwenden die Bezeichnungen von oben.
(1) $ [mm] a-\varepsilon [/mm] $ < $ [mm] a_{n_{k}} [/mm] $ < $ [mm] a+\varepsilon [/mm] $ für k [mm] \ge [/mm] $ [mm] k_0 [/mm] $
Setze N = [mm] n_{k_0}. [/mm] Sei n > N.
[mm] (a_n) [/mm] ist monoton wachsend also ist [mm] a_n \ge a_{n_{k_0}}. [/mm] Aus (1) folgt :
(2) [mm] $a-\varepsilon [/mm] $ < $ [mm] a_n [/mm] $
Weiter existiert ein k mit [mm] n_k [/mm] > n. Weiter ist (wegen der Monotonie) [mm] a_n \le a_{n_k} [/mm] , und aus (1) ergibt sich
(3) [mm] $a_n [/mm] < [mm] a+\varepsilon [/mm] $
Damit haben wir:
[mm] $|a_n-a|< \varepsilon [/mm] $ für n > N
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:37 Do 30.07.2009 | | Autor: | ms2008de |
Vielen vielen Dank, dass du dir die Zeit genommen hast, das war wirklich sehr hilfreich.
Viele Grüße
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