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| Aufgabe | Berechnen Sie die Ableitung von:
[mm]f(x)=\int_{0}^{x^{2}}e^{-t^{2}}dt[/mm] |
Hallo,
wenn ich davon die Ableitung berechne und quasi erst nach dem Hauptsatzz das Integral ausrechne und dann die Stammfunktion wieder nach x ableite müsste da doch eigentlich wieder der Ausdruck unter dem Integral herauskommen, nur mit einem [mm] x^2 [/mm] anstatt des [mm] t^2 [/mm]
oder?
Ich soll das aber alles aufschreiben. Also dann erst [mm] F(x^2)-F(0) [/mm].
Wie ist denn dann die Stammfunktion zu [mm] e^-t^2 [/mm]?
Ich hatte da: [mm] F(x)=(-1/2*t)*e^-2*t^2 [/mm].
Wenn das aber so wäre, dann könnte ich F(0) aber garnicht berechnen.
Wo ist der Fehler?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:23 Fr 23.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo T_sleeper,
> Wie ist denn dann die Stammfunktion zu [mm]e^-t^2 [/mm]?
Zunächst: Wenn Du mehr als ein Zeichen in den Exponenten schreiben willst, musst Du den gesamten Exponenten in geschweifte Klammern setzen: e^{-t^2} wird zu [mm] $e^{-t^2}$.
[/mm]
U.a. in der englischen wikipedia-Formelsammlung finde ich dies:
[mm] $\int e^{-c x^2 }\; \mathrm{d}x= \sqrt{\frac{\pi}{4c}} \mbox{erf}(\sqrt{c} [/mm] x)$ (erf is the Error function)
Na Prost!
> Ich hatte da: [mm]F(x)=(-1/2*t)*e^-2*t^2 [/mm].
Ich nehme an, Du meintest
[mm]F(x)=\left(-\bruch{1}{2*t}\right)*e^{-2*t^2} [/mm] ?
(oder gar [mm]F(x)=\left(-\bruch{1}{2}*t\right)*e^{-2*t^2} [/mm] ?)
Wie kommt da die zwei in den Exponenten? Beim Ableiten (und „Aufleiten“) der e-Funktion bleibt der Exponent doch erstmal unverändert.
Wenn Du dieses F(x) ableitest (beachte nicht nur die Ketten- sondern auch die Produkt- bzw. Quotientenregel!) erhältst Du doch was ganz anderes als gesucht ...
Schöne Grüße
ardik
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> > Ich hatte da: [mm]F(x)=(-1/2*t)*e^-2*t^2 [/mm].
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> Ich nehme an, Du meintest
> [mm]F(x)=\left(-\bruch{1}{2*t}\right)*e^{-2*t^2}[/mm] ?
> (oder gar [mm]F(x)=\left(-\bruch{1}{2}*t\right)*e^{-2*t^2}[/mm] ?)
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> Wie kommt da die zwei in den Exponenten? Beim Ableiten (und
> „Aufleiten“) der e-Funktion bleibt der Exponent
> doch erstmal unverändert.
> Wenn Du dieses F(x) ableitest (beachte nicht nur die
> Ketten- sondern auch die Produkt- bzw. Quotientenregel!)
> erhältst Du doch was ganz anderes als gesucht ...
>
> Schöne Grüße
> ardik
Ich meinte eigentlich das hier: [mm]F(x)=\left(-\bruch{1}{2*t}\right)*e^{-t^2}[/mm].
Da ist auch keine 2 dann im Exponenten. Hab mich da vertippt.
Aber damit hab ich dann immer noch das Problem, dass ich F(0) nicht berechnen kann.
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:51 Fr 23.01.2009 | | Autor: | ardik |
Hallo T_sleeper,
> [mm]F(x)=\left(-\bruch{1}{2*t}\right)*e^{-t^2}[/mm].
> Da ist auch keine 2 dann im Exponenten. Hab mich da
> vertippt.
> Aber damit hab ich dann immer noch das Problem, dass ich
> F(0) nicht berechnen kann.
Diese Stammfunktion kann ohnehin nicht stimmen, wie eine Probeableitung ergibt:
$F'(x)= [mm] \bruch{1}{2*t^2} *e^{-t^2}+\left(-\bruch{1}{2*t} \right) *(-2t)*e^{-t^2}=\bruch{1}{2*t^2} *e^{-t^2}+e^{-t^2}=\left(\bruch{1}{2*t^2}+1\right)e^{-t^2}$
[/mm]
Schöne Grüße
ardik
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 01:45 Fr 23.01.2009 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Berechnen Sie die Ableitung von:
> [mm]f(x)=\int_{0}^{x^{2}}e^{-t^{2}}dt[/mm]
Du hast insofern Recht, als dass man für stetiges [mm] $\,j\,$ [/mm] weiß, dass von [mm] $h(x):=\int_0^x j(t)\;dt$ [/mm] die Ableitung $h'(x)=j(x)$ für alle [mm] $\,x\,$ [/mm] ist.
Oben könntest Du folgendes machen:
Für $x [mm] \ge [/mm] 0$ gilt
[mm] $$f(\sqrt{x})=\int_0^x e^{-t^2}\;dt$$
[/mm]
Nun setze [mm] $g(x)=\sqrt{x}$ [/mm] und wir betrachten $(f [mm] \circ g)(x)=f(\sqrt{x})\,.$ [/mm]
Dann gilt
[mm] $$(f(\sqrt{x}))\!\,'=\frac{d}{dx}f(\sqrt{x})=e^{-x^2}\,,$$ [/mm]
und ferner ist nach der Kettenregel
[mm] $$(f(\sqrt{x}))\!\,'=\frac{f'(\sqrt{x})}{2\sqrt{x}}\,,$$ [/mm] also
[mm] $$f'(\sqrt{x})=2\sqrt{x}e^{-x^2}\,.$$
[/mm]
Ersetzt Du nun $x$ durch [mm] $x^2\,,$ [/mm] so folgt
[mm] $f'(x)=2x*e^{-x^4}\,.$
[/mm]
Wie die Ableitung für $x < 0$ aussieht, sollte sofort daraus ersichtlich sein, dass $f$ eine gerade Funktion ist. (Man kann es auch nochmal nachrechnen, aber im Prinzip reicht es, es sich an einem Beispiel klarzumachen: Wenn [mm] $h(x)=x^2$, [/mm] was gilt dann für [mm] $h'(-x_0)$, [/mm] wenn [mm] $x_0 \ge [/mm] 0$ und [mm] $h'(x_0)$ [/mm] bekannt ist?)
P.S.:
Meines Wissens nach wirst Du zu $t [mm] \mapsto e^{-t^2}$ [/mm] keine elementare Stammfunktion angeben können!
P.P.S.:
Eigentlich muss man sich oben doch noch etwas mehr Gedanken über die Ableitung von [mm] $\,f\,$ [/mm] in [mm] $x_0=0$ [/mm] machen. Siehst Du die Problematik?
Das läßt sich auch vermeiden, wenn man so vorgeht:
Wir setzen [mm] $g(y):=\int_0^y e^{-t^2}\;dt\,.$ [/mm] Weiter definieren wir [mm] $y(x):=x^2$. [/mm] Damit gilt
[mm] $$f(x)=\int_0^{x^2}e^{-t^2}\,dt=\int_0^{y(x)}e^{-t^2}\;dt=g(y(x))\,.$$
[/mm]
Nun berechne [mm] $f'(x)=g'(y(x))*y'(x)\,.$ [/mm] Hier ist der Vorteil, dass man
[mm] $\bullet$ [/mm] keine Fallunterscheidungen für positive/negative $x$-Werte braucht
[mm] $\bullet$ [/mm] die Stelle [mm] $x_0=0$ [/mm] nicht problematisch ist
Gruß,
Marcel
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