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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:41 Mo 08.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
| Aufgabe | Geben Sie für jede der folgenden linearen Abbildungen L die Dimension und die Basis des Bildes img(L) und des Kerns ker(L) an. Bestimmen Sie zusätzlich für die Abbildungen, ob sie Homomorphismus, Monomorphismus,
Epimorphismus oder Isomorphismus sind.
L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{3}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{3}+2x_{4} \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ 3x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{4}}
[/mm]
L: [mm] \IR^{3} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1} \\ -2x_{1}+x_{2}+2x_{3} \\ -3x_{1}+2x_{2}+4x_{3} \\ 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}}
[/mm]
L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{2}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \vektor{2x_{1}- x_{3} \\ 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}} [/mm]
L: [mm] \IR^{4} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}}) [/mm] = [mm] \vektor{x_{1}+x_{3}+x_{4} \\ -x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}} [/mm] |
Berechnet man den Kern mit dem Zeilenraum und das Bild mit dem Spaltenraum der Matrix ??
Kann mir jemand erklären wie man bestimmt ob es ein Homomorphismus, Monomorphismus,
Epimorphismus oder Isomorphismus ist ?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 05:17 Di 09.06.2015 | | Autor: | fred97 |
> Geben Sie für jede der folgenden linearen Abbildungen L
> die Dimension und die Basis des Bildes img(L) und des Kerns
> ker(L) an. Bestimmen Sie zusätzlich für die Abbildungen,
> ob sie Homomorphismus, Monomorphismus,
> Epimorphismus oder Isomorphismus sind.
>
> L: [mm]\IR^{4} \to \IR^{3}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}})[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1}+x_{3}+2x_{4} \\ 2x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ 3x_{1}+x_{2}+x_{3}+3x_{4}}[/mm]
>
> L: [mm]\IR^{3} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3}})[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1} \\ -2x_{1}+x_{2}+2x_{3} \\ -3x_{1}+2x_{2}+4x_{3} \\ 2x_{1}+x_{2}+2x_{3}}[/mm]
>
> L: [mm]\IR^{4} \to \IR^{2}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}})[/mm]
> = [mm]\vektor{2x_{1}- x_{3} \\ 4x_{1}+x_{2}+x_{3}+2x_{4}}[/mm]
> L: [mm]\IR^{4} \to \IR^{4}, L(\vektor{x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4}})[/mm]
> = [mm]\vektor{x_{1}+x_{3}+x_{4} \\ -x_{1}+x_{2}+x_{4} \\ x_{1}+x_{2}+x_{3} \\ x_{1}-x_{2}+x_{3}+x_{4}}[/mm]
>
> Berechnet man den Kern mit dem Zeilenraum und das Bild mit
> dem Spaltenraum der Matrix ??
Warum "erforscht" Du das nicht selbst ? Es ist nicht schwer: ist A eine mxn-Matrix mit den Spalten [mm] a_1,...,a_n [/mm] und ist die lineare Abb. [mm] f:\IR^n \to \IR^m [/mm] gegeben durch
[mm] f((x_1,...,x_n)^T)=A(x_1,...,x_n)^T,
[/mm]
so ist
[mm] f((x_1,...,x_n)^T)=x_1a_1+...+x_na_n.
[/mm]
Damit ist Bild(f)= lineare Hülle der Spaltenvektoren von A.
Nun sag Du etwas zum Kern von f.
>
> Kann mir jemand erklären wie man bestimmt ob es ein
> Homomorphismus,
linear
> Monomorphismus,
linear und injektiv
> Epimorphismus
linear und surjektiv
> oder
Isomorphismus
linear und bijektiv.
fred
> ist ?
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 08:29 Di 09.06.2015 | | Autor: | rsprsp |
Kern von f berechnet die Lösungsmenge eines homogene LGS
d.h.: f(x)=0
Ich habe jetzt für jede Abbildung eine Matrix aufgestellt
Bsp. a
[mm] \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 2 & 1 & 0 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 3 }
[/mm]
Und den Zeilenraum in ZSF gebracht:
[mm] \leadsto \pmat{ 1 & 0 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & -2 & -3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
d.h. wir haben für
[mm] x_{1} [/mm] = [mm] -x_{3}-2x_{4}
[/mm]
[mm] x_{2} [/mm] = [mm] 2x_{3}+3x_{4}
[/mm]
und Ker f = { [mm] span(\vektor{-1 \\ 2 \\ 1 \\ 0},\vektor{-2 \\ 3 \\ 0 \\ 1}) [/mm] }
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Beim Bild habe ich nach lin. unabhängigen Vektorek geguckt
D.h. Spaltenraum der Matrix in ZSF gebracht:
[mm] \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 2 & 1 & 3} \leadsto \pmat{ 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 } [/mm]
Wir haben jetzt 2 lin. unabhängige Vektoren die ein Bild von f bilden
Im f = { [mm] span(\vektor{1 \\ 2 \\ 3},\vektor{ 0 \\ 1 \\ 1} [/mm] }
Also dim(Kern(f))=2, dim(Im(f))=2
Stimmt das so ?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 15:20 Di 09.06.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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