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| Aufgabe | Wir betrachten die lineare Rekursion f(n)=f(n-1)+2f(n-2) für [mm] n\ge [/mm] 2 mit f(0)=0 und f(1)=3
(a) Bestimmen Sie eine Gleichung für GF(f(n))(z), lösen Sie diese und bestimmen Sie damit eine explizite Darstellung f(n)
(b) Bestimmen Sie eine Differentialgleichung für EGF(f(n))(z), lösen Sie diese und bestimmen Sie eine explizite Darstellung für f(n).
(c) Bestimmen Sie ein lineares System erster Ordnung für den Vektor [mm] (f(n),f(n-1))^T, [/mm] berechnen Sie die Jordansche Normalform der Systemmatrix und bestimmen Sie damit eine explizite Darstellung für f(n). |
Hallo zusammen,
ich habe Teil (a) wie folgt gelöst, aber brauche eure Bestätigung, ob ich es richtig gelöst habe.
also f(n)=f(n-1)+2f(n-2)
Erstmal erzeugende Fkt. GF(f(n))(z): Sei [mm] f(n)=a_n, f(n-1)=a_{n-1} [/mm] und [mm] f(n-2)=a_{n-2} [/mm] (darf ich das überhaupt machen?)
Dann ist [mm] a_n=a_{n-1}+2a_{n-2} \gdw \summe_{n\ge 2}a_nx^n=\summe_{n\ge 2}a_{n-1}x^n+2\summe_{n\ge 2}a_{n-2}x^n
[/mm]
Weiter ist [mm] A(x)=\summe_{n\ge 0}a_nx^n [/mm] dann ist
[mm] \summe_{n\ge 2}a_nx^n=A(x)-a_0-a_1x=A(x)-0-3x [/mm] (für [mm] a_0=0 [/mm] und [mm] a_1=3 [/mm] )
In der 2. Summe subtrahieren m für n-1 und bekomme dann
[mm] \summe_{n\ge 2}a_{n-1}x^n=\summe_{m\ge 1}a_mx^{m+1}=x\summe_{m\ge 1}a_mx^m=x(A(x)-a_0)=xA(x)
[/mm]
Ebenso für die 3. Summe: [mm] \summe_{n\ge 2}a_{n-2}x^n=x^2A(x)
[/mm]
[mm] \Rightarrow [/mm] A(x)-3x=xA(x)+2x^2A(x)
[mm] \gwd A(x)=\bruch{3x}{(2x-1)(-x-1)}
[/mm]
Dann mit Partialbruchzerlegung: [mm] \bruch{3x}{(2x-1)(-x-1)}=\bruch{A}{(2x-1)}+\bruch{B}{(-x-1)}
[/mm]
ALso A=-1 und B=1
[mm] \Rightarrow A(x)=\bruch{-1}{(2x-1)}+\bruch{1}{(-x-1)} [/mm] erzeugende Fkt
dann definiere [mm] f(n)=q^n, [/mm] d.h. f(n)=c_1f(n-1)+c_2f(n-2)+...+c_df(n-d)
mit Konstanten [mm] c_1,...,c_d
[/mm]
[mm] \Rightarrwo q^n=c_1q^{n-1}+...+c_dq^{n-d} [/mm] (dann mit [mm] q^{d-n} [/mm] multiplizieren)
[mm] \gdw q^d=c_1q^{d-1}+...+c_d
[/mm]
[mm] \gdw q^d-c_1q^{d-1}-...-c_d=0
[/mm]
in unseren ist dann [mm] q^2-q-2=0
[/mm]
mit MNF: [mm] q_1=-1 [/mm] und [mm] q_2=2 [/mm] und dann sind
[mm] f(n)=(-1)^n [/mm] und [mm] f(n)=2^n [/mm] die Lsgen der Rekursion
Nun müssen noch die Anfangswerte berücksichtig werden. Also
[mm] f(n)=A(-1)^n+B2^n
[/mm]
[mm] f(0)=A(-1)^0+B2^0=0\Rightarrow [/mm] A+B=0 [mm] \gdw [/mm] A=-B
[mm] f(1)=A(-1)^1+B2^1=-A+2B=3 \gdw [/mm] B+2B=3 [mm] \gdw [/mm] B=1
Also ist A=-1
erhalte dann [mm] f(n)=(-1)^n+1+2^n [/mm] explizite Darstellung
Stimmt das?
kann mir jmd bei den weiteren Aufgabe einen Tipp geben wie ich am Besten vorangehen soll?
wie besimme ich z.B die Differentialgleichung von EGF [mm] ?(EFG(z)=\summe a_n\bruch{z^n}{n!})
[/mm]
Dankeschön.
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Die erzeugende Funktion in (a) stimmt, ich habe allerdings
[mm]f(n) = 2^n +(-1)^{n+1} \, , \ \ n \geq 0[/mm]
erhalten. Dein Ergebnis kann nicht stimmen, denn bei dir ist [mm]f(0) = 3[/mm] und [mm]f(1) = 2[/mm]. Überprüfe den zweiten Teil deiner Rechnung.
Setzt man in (b)
[mm]h(z) = 3z + \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f(n)}{n!} z^n[/mm]
an, so folgt durch einmaliges Differenzieren und Anwenden der Rekursion:
[mm]h'(z) = 3 + h(z) + 2 \sum_{n=2}^{\infty} \frac{f(n-1)}{n!} z^n[/mm]
Wenn man noch einmal differenziert, bekommt man
[mm]h''(z) = h'(z) + 2h(z)[/mm]
womit [mm]y=h(z)[/mm] das Anfangswertproblem
[mm]y'' - y' - 2y = 0 \, ; \ \ y(0)=0 \, , \ y'(0) = 3[/mm]
erfüllt. Rechne das nach.
Das Anfangswertproblem läßt sich elementar lösen, und aus der Lösung kann die explizite Darstellung von [mm]f(n)[/mm] abgelesen werden.
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