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| Aufgabe | Sei H der reelle Hilbertraum [mm] L^2([0,1]).
[/mm]
a) Zeigen Sie, dass der lineare Operator A, definiert durch [mm] A(u)(x):=\integral_{0}^{x}{u(t) dt} [/mm] für x [mm] \in [/mm] [0,1], eine stetige Abbildung [mm] A:H\rightarrow [/mm] H ist.
b) Bestimmen sie A*. Kann A Eigenfunktion aus [mm] C^1([0,1]) [/mm] haben? |
Hallo...
Ich habe mal wieder ein paar Aufgaben für meine Prüfungsvorbereitung gerechnet. Irgendwie komme ich damit überhaupt nicht so klar.
Also, ich muss jetzt zeigen, dass A beschränkt ist, also dass:
[mm] \|Ax\| \leq c\|x\| [/mm] ist? Die Norm wäre doch:
[mm] \|Ax\|=\integral_{0}^{x}{|u(t)|^2 dt}
[/mm]
Ist das nicht automatisch [mm] <\infty [/mm] weil wir den [mm] L^2 [/mm] haben?
Wahrscheinlich bring ich da jetzt alles wieder durcheinander...
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Sei H der reelle Hilbertraum [mm]L^2([0,1]).[/mm]
> a) Zeigen Sie, dass der lineare Operator A, definiert
> durch [mm]A(u)(x):=\integral_{0}^{x}{u(t) dt}[/mm] für x [mm]\in[/mm] [0,1],
> eine stetige Abbildung [mm]A:H\rightarrow[/mm] H ist.
> b) Bestimmen sie A*. Kann A Eigenfunktion aus [mm]C^1([0,1])[/mm]
> haben?
> Hallo...
>
> Ich habe mal wieder ein paar Aufgaben für meine
> Prüfungsvorbereitung gerechnet. Irgendwie komme ich damit
> überhaupt nicht so klar.
>
> Also, ich muss jetzt zeigen, dass A beschränkt ist, also
> dass:
>
> [mm]\|Ax\| \leq c\|x\|[/mm] ist?
Nein. Du mußt zeigen: es gibt ein c [mm] \ge [/mm] 0 mit
$||Au|| [mm] \le [/mm] c*||u||$ für alle u [mm] \in [/mm] $ [mm] L^2([0,1]). [/mm] $
> Die Norm wäre doch:
>
> [mm]\|Ax\|=\integral_{0}^{x}{|u(t)|^2 dt}[/mm]
Das ist doch Unfug !
Es ist für u [mm] \in [/mm] $ [mm] L^2([0,1]).: [/mm] $
[mm] $||Au||^2=\integral_{0}^{1}{|(Au)(x)|^2 dx}
[/mm]
Hilft das weiter ?
FRED
>
> Ist das nicht automatisch [mm]<\infty[/mm] weil wir den [mm]L^2[/mm] haben?
> Wahrscheinlich bring ich da jetzt alles wieder
> durcheinander...
>
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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Danke schonmal. Naja, ein wenig? XD Ist mir echt peinlich, solche "dummen" Fragen zu stellen. Irgendwie war das Semester nicht so meins...
Also, erstmal einsetzen:
[mm] \|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq c\|u\|, [/mm] oder?
Nur was davon ist das c und was [mm] \|u\| [/mm] ?
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:09 Mi 17.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke schonmal. Naja, ein wenig? XD Ist mir echt peinlich,
> solche "dummen" Fragen zu stellen. Irgendwie war das
> Semester nicht so meins...
>
> Also, erstmal einsetzen:
>
> [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq c\|u\|,[/mm]
> oder?
Was heißt hier "oder" ?
Zunächst ist [mm] $|\integral_{0}^{x} [/mm] u(t) dt| [mm] \le \integral_{0}^{x} [/mm] |u(t)| dt [mm] \le \integral_{0}^{1} [/mm] |u(t)| dt [mm] \le [/mm] ||u||.$
Begründe die beiden " [mm] \le [/mm] " !
Dann folgt: $ ||Au|| [mm] \le [/mm] ||u|| $
Begründe auch dies !
>
> Nur was davon ist das c und was [mm]\|u\|[/mm] ?
Hä ? Machen wir hier "heiteres Symbole- Raten " ?
||u|| ist die [mm] L^2 [/mm] -Norm !
FRED
>
>
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Danke für deine Antwort FRED!
> > Danke schonmal. Naja, ein wenig? XD Ist mir echt peinlich,
> > solche "dummen" Fragen zu stellen. Irgendwie war das
> > Semester nicht so meins...
> >
> > Also, erstmal einsetzen:
> >
> > [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq c\|u\|,[/mm]
> > oder?
>
> Was heißt hier "oder" ?
Sorry für das "oder". Bin mir eben unsicher.
>
> Zunächst ist [mm]|\integral_{0}^{x} u(t) dt| \le \integral_{0}^{x} |u(t)| dt \le \integral_{0}^{1} |u(t)| dt \le ||u||.[/mm]
>
> Begründe die beiden " [mm]\le[/mm] " !
Das erste ist Begründet durch die Dreiecksungleichung.
Das zweite ist mir nicht ganz klar. Ist u monoton wachsend?
Das letzte ist damit begründet, dass wir nur eine Konstante gefunden haben, aber nicht das Supremum?
>
> Dann folgt: [mm]||Au|| \le ||u||[/mm]
>
> Begründe auch dies !
Insgesamt lautet meine Rechnung jetzt:
[mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1} |u(t)|^2 dt) dx}[/mm] = 1 [mm] \cdot \integral_{0}^{1} |u(t)|^2 [/mm] dt [mm] \leq [/mm] 1 [mm] \cdot \|u\|
[/mm]
Daraus folgt dann direkt
[mm] \|Au\|\leq \|u\|
[/mm]
> >
> > Nur was davon ist das c und was [mm]\|u\|[/mm] ?
>
> Hä ? Machen wir hier "heiteres Symbole- Raten " ?
>
> ||u|| ist die [mm]L^2[/mm] -Norm !
>
> FRED
> >
> >
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(Antwort) fertig | | Datum: | 11:52 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> Danke für deine Antwort FRED!
> > > Danke schonmal. Naja, ein wenig? XD Ist mir echt
> peinlich,
> > > solche "dummen" Fragen zu stellen. Irgendwie war das
> > > Semester nicht so meins...
> > >
> > > Also, erstmal einsetzen:
> > >
> > > [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq c\|u\|,[/mm]
> > > oder?
> >
> > Was heißt hier "oder" ?
> Sorry für das "oder". Bin mir eben unsicher.
> >
> > Zunächst ist [mm]|\integral_{0}^{x} u(t) dt| \le \integral_{0}^{x} |u(t)| dt \le \integral_{0}^{1} |u(t)| dt \le ||u||.[/mm]
>
> >
> > Begründe die beiden " [mm]\le[/mm] " !
> Das erste ist Begründet durch die Dreiecksungleichung.
ja
>
> Das zweite ist mir nicht ganz klar. Ist u monoton wachsend?
Woher soll ich das wissen ? Spaß beiseite: u ist eine beliebiges Element aus [mm] L^2
[/mm]
Es ist , da |u| [mm] \ge [/mm] 0,
[mm] \integral_{0}^{x} [/mm] |u(t)| dt [mm] \le \integral_{0}^{x} [/mm] |u(t)| dt [mm] +\integral_{x}^{1} [/mm] |u(t)| dt [mm] =\integral_{0}^{1} [/mm] |u(t)| dt
>
> Das letzte ist damit begründet, dass wir nur eine
> Konstante gefunden haben, aber nicht das Supremum?
Was ist das für ein Unsinn ??????
$ [mm] \integral_{0}^{1} [/mm] |u(t)| dt= [mm] \integral_{0}^{1}1* [/mm] |u(t)| dt [mm] \le (\integral_{0}^{1} 1^2 dt)^{1/2}* (\integral_{0}^{1} |u(t)|^2 dt)^{1/2}=1*||u||_2$
[/mm]
Das " [mm] \le" [/mm] in der Zeile drüber kommt von welcher Ungleichung ?
FRED
> >
> > Dann folgt: [mm]||Au|| \le ||u||[/mm]
> >
> > Begründe auch dies !
> Insgesamt lautet meine Rechnung jetzt:
>
> [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1} |u(t)|^2 dt) dx}[/mm]
> = 1 [mm]\cdot \integral_{0}^{1} |u(t)|^2[/mm] dt [mm]\leq[/mm] 1 [mm]\cdot \|u\|[/mm]
>
> Daraus folgt dann direkt
>
> [mm]\|Au\|\leq \|u\|[/mm]
> > >
> > > Nur was davon ist das c und was [mm]\|u\|[/mm] ?
> >
> > Hä ? Machen wir hier "heiteres Symbole- Raten " ?
> >
> > ||u|| ist die [mm]L^2[/mm] -Norm !
> >
> > FRED
> > >
> > >
> >
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:46 Fr 19.07.2013 | | Autor: | Henrikc007 |
> > Danke für deine Antwort FRED!
> > > > Danke schonmal. Naja, ein wenig? XD Ist mir echt
> > peinlich,
> > > > solche "dummen" Fragen zu stellen. Irgendwie war das
> > > > Semester nicht so meins...
> > > >
> > > > Also, erstmal einsetzen:
> > > >
> > > > [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq c\|u\|,[/mm]
> > > > oder?
> > >
> > > Was heißt hier "oder" ?
> > Sorry für das "oder". Bin mir eben unsicher.
> > >
> > > Zunächst ist [mm]|\integral_{0}^{x} u(t) dt| \le \integral_{0}^{x} |u(t)| dt \le \integral_{0}^{1} |u(t)| dt \le ||u||.[/mm]
>
> >
> > >
> > > Begründe die beiden " [mm]\le[/mm] " !
> > Das erste ist Begründet durch die Dreiecksungleichung.
>
> ja
>
>
> >
> > Das zweite ist mir nicht ganz klar. Ist u monoton wachsend?
>
> Woher soll ich das wissen ? Spaß beiseite: u ist eine
> beliebiges Element aus [mm]L^2[/mm]
>
> Es ist , da |u| [mm]\ge[/mm] 0,
>
> [mm]\integral_{0}^{x}[/mm] |u(t)| dt [mm]\le \integral_{0}^{x}[/mm] |u(t)|
> dt [mm]+\integral_{x}^{1}[/mm] |u(t)| dt [mm]=\integral_{0}^{1}[/mm] |u(t)|
> dt
>
Aaah, ok, jetzt ist alles klar.
>
> >
> > Das letzte ist damit begründet, dass wir nur eine
> > Konstante gefunden haben, aber nicht das Supremum?
>
> Was ist das für ein Unsinn ??????
>
Unsinn eben: ergibt keinen Sinn... Weiß nicht, was mich zu so etwas treibt!
>
> [mm]\integral_{0}^{1} |u(t)| dt= \integral_{0}^{1}1* |u(t)| dt \le (\integral_{0}^{1} 1^2 dt)^{1/2}* (\integral_{0}^{1} |u(t)|^2 dt)^{1/2}=1*||u||_2[/mm]
>
> Das " [mm]\le"[/mm] in der Zeile drüber kommt von welcher
> Ungleichung ?
>
Das dürft die Cauchy-Schwarzsche UG sein.
> FRED
>
>
> > >
> > > Dann folgt: [mm]||Au|| \le ||u||[/mm]
> > >
> > > Begründe auch dies !
> > Insgesamt lautet meine Rechnung jetzt:
> >
> > [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1} |u(t)|^2 dt) dx}[/mm]
> > = 1 [mm]\cdot \integral_{0}^{1} |u(t)|^2[/mm] dt [mm]\leq[/mm] 1 [mm]\cdot \|u\|[/mm]
>
> >
> > Daraus folgt dann direkt
> >
> > [mm]\|Au\|\leq \|u\|[/mm]
> > > >
> > > > Nur was davon ist das c und was [mm]\|u\|[/mm] ?
> > >
> > > Hä ? Machen wir hier "heiteres Symbole- Raten " ?
> > >
> > > ||u|| ist die [mm]L^2[/mm] -Norm !
> > >
> > > FRED
> > > >
> > > >
> > >
> >
>
Nochmal vielen Dank für deine Hilfe + Geduld! :)
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:51 Fr 19.07.2013 | | Autor: | fred97 |
> > > Danke für deine Antwort FRED!
> > > > > Danke schonmal. Naja, ein wenig? XD Ist mir echt
> > > peinlich,
> > > > > solche "dummen" Fragen zu stellen. Irgendwie war das
> > > > > Semester nicht so meins...
> > > > >
> > > > > Also, erstmal einsetzen:
> > > > >
> > > > > [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq c\|u\|,[/mm]
> > > > > oder?
> > > >
> > > > Was heißt hier "oder" ?
> > > Sorry für das "oder". Bin mir eben unsicher.
> > > >
> > > > Zunächst ist [mm]|\integral_{0}^{x} u(t) dt| \le \integral_{0}^{x} |u(t)| dt \le \integral_{0}^{1} |u(t)| dt \le ||u||.[/mm]
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> >
> > >
> > > >
> > > > Begründe die beiden " [mm]\le[/mm] " !
> > > Das erste ist Begründet durch die
> Dreiecksungleichung.
> >
> > ja
> >
> >
> > >
> > > Das zweite ist mir nicht ganz klar. Ist u monoton wachsend?
> >
> > Woher soll ich das wissen ? Spaß beiseite: u ist eine
> > beliebiges Element aus [mm]L^2[/mm]
> >
> > Es ist , da |u| [mm]\ge[/mm] 0,
> >
> > [mm]\integral_{0}^{x}[/mm] |u(t)| dt [mm]\le \integral_{0}^{x}[/mm] |u(t)|
> > dt [mm]+\integral_{x}^{1}[/mm] |u(t)| dt [mm]=\integral_{0}^{1}[/mm] |u(t)|
> > dt
> >
> Aaah, ok, jetzt ist alles klar.
> >
> > >
> > > Das letzte ist damit begründet, dass wir nur eine
> > > Konstante gefunden haben, aber nicht das Supremum?
> >
> > Was ist das für ein Unsinn ??????
> >
> Unsinn eben: ergibt keinen Sinn... Weiß nicht, was mich zu
> so etwas treibt!
> >
> > [mm]\integral_{0}^{1} |u(t)| dt= \integral_{0}^{1}1* |u(t)| dt \le (\integral_{0}^{1} 1^2 dt)^{1/2}* (\integral_{0}^{1} |u(t)|^2 dt)^{1/2}=1*||u||_2[/mm]
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> > Das " [mm]\le"[/mm] in der Zeile drüber kommt von welcher
> > Ungleichung ?
> >
> Das dürft die Cauchy-Schwarzsche UG sein.
Bingo !
FRED
> > FRED
> >
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> > > >
> > > > Dann folgt: [mm]||Au|| \le ||u||[/mm]
> > > >
> > > > Begründe auch dies !
> > > Insgesamt lautet meine Rechnung jetzt:
> > >
> > > [mm]\|Au\|=\integral_{0}^{1}{(|\integral_{0}^{x} u(t) dt|^2) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{x} |u(t)|^2 dt) dx} \leq \integral_{0}^{1}{(\integral_{0}^{1} |u(t)|^2 dt) dx}[/mm]
> > > = 1 [mm]\cdot \integral_{0}^{1} |u(t)|^2[/mm] dt [mm]\leq[/mm] 1 [mm]\cdot \|u\|[/mm]
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> > > Daraus folgt dann direkt
> > >
> > > [mm]\|Au\|\leq \|u\|[/mm]
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> > > > > Nur was davon ist das c und was [mm]\|u\|[/mm] ?
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> > > > Hä ? Machen wir hier "heiteres Symbole- Raten " ?
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> > > > ||u|| ist die [mm]L^2[/mm] -Norm !
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> > > > FRED
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> Nochmal vielen Dank für deine Hilfe + Geduld! :)
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