lösbarkeit < Gleichungssysteme < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:59 Fr 05.09.2008 | | Autor: | vivo |
Hallo,
ich versuche gerade die Lösbarkeitskriterien eines LGS mit [mm] A^{mxn} [/mm] zu sammeln:
- Rang der Matrix = Rang der erweiterten Matrix
- die rechte Seite b ist eine Linearkombination der Spaltenvektoren
- b [mm] \in [/mm] (Kern [mm] A^t)^{\perp}
[/mm]
tja mehr wüsste ich jetzt leider nicht ... was wichtiges übersehen?
und dann eindeutig lösbar falls:
- Kern A = [mm] \{0} [/mm] bzw.
- keine frei wählbaren komponenten
danke für Ergänzungen!
gruß
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:10 Fr 05.09.2008 | | Autor: | Merle23 |
edit: Hier stand Murks.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:14 Fr 05.09.2008 | | Autor: | vivo |
deine beispiel ist doch nicht lösbar, oder ?????????
da eben der Rang der Matrix [mm] \not= [/mm] Rang der erweiterten Matrix ist.
inwiefern steht das im wiederspruch zu meiner aussage?
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Hallo vivo,
> deine beispiel ist doch nicht lösbar, oder ????????? ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
>
> da eben der Rang der Matrix [mm]\not=[/mm] Rang der erweiterten
> Matrix ist.
ganz recht
>
> inwiefern steht das im wiederspruch zu meiner aussage?
>
Die obige Antwort ist falsch, ein LGS $Ax=b$ ist lösbar [mm] $\gdw [/mm] rg(A)=rg(A|b)$
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:19 Fr 05.09.2008 | | Autor: | vivo |
ok, danke ...
jetzt hab ich aber leider noch keine antwort auf mein "ausgangsfrage" .-)
vielen dank für antworten
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Hallo,
zur Lösbarkeit von Ax=b mit [mm] A\in \IR_{mxn} [/mm] und [mm] b\in \IR^m:
[/mm]
Das Gleichungsystem ist lösbar
<==> [mm] b\in [/mm] Bild A (Linearkombintion der Spalten)
<==> Rang(A,b)=Rang(A)
Ax=b ist universell lösbar, dh. für jedes b lösbar
<==>Rang(A)=m
<==> A beschreibt eine surjektive Abbildung
Ax=b hat höchstens (!) eine Lösung
<==> Rang A=n
<==> A beschreibt eine injektive Abbildung
Ax=b hat genau eine Lösung
<==> Rang A=m=n
<==> A beschreibt eine bijektive Abbildung
<==> A ist quadratisch und invertierbar
Gruß v. Angela
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