metrik < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Seien A,B zwei Teilmengen des [mm] \IR^{n} [/mm] man def.
d(A,B):= [mm] inf\{d(a,b); a\in A, b\in B\}
[/mm]
zz: d(A,B) ist pos. wenn A kompakt und B abgeschlossen und A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset
[/mm]
die hier vorliegende Metrik ist ja durch die infima von A und B bestimmt, bzw. das infimum der Metriken von A und B. a=b scheidet von den vorbedingungen schon aus, also kann ich das ganze einschränken.
a kompakt heißt ja beschränkt und abgeschlossen oder arbeite ich hier besser mit der folgenkompaktheit? A [mm] \cap [/mm] B = [mm] \emptyset [/mm] heißt ja dass die beiden disjunkt sein müssen. aber wie kann ich das in verbindung bringen mit kompakt(A) und abgeschlossen(B) sodass das ganze positiv wird?
kann mir jemand helfen?
danke im voraus
greetz
dschingis
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:07 Mi 15.06.2005 | | Autor: | SEcki |
> Seien A,B zwei Teilmengen des [mm]\IR^{n}[/mm] man def.
> d(A,B):= [mm]inf\{d(a,b); a\in A, b\in B\}[/mm]
> zz: d(A,B) ist pos.
> wenn A kompakt und B abgeschlossen und A [mm]\cap[/mm] B =
> [mm]\emptyset[/mm]
Habt ihr gezeigt, dass [m]d(A,x),x\in \IR^n[/m] stetig ist? Ansosnten solltest du das mal zeigen, damit geht es ganz schnell.
> die hier vorliegende Metrik ist ja durch die infima von A
> und B bestimmt, bzw. das infimum der Metriken von A und B.
Das ist keine Metrik, sondern ein "Abstand" zwischen Teilmengen.
> a kompakt heißt ja beschränkt und abgeschlossen oder
> arbeite ich hier besser mit der folgenkompaktheit? A [mm]\cap[/mm] B
> = [mm]\emptyset[/mm] heißt ja dass die beiden disjunkt sein müssen.
> aber wie kann ich das in verbindung bringen mit kompakt(A)
> und abgeschlossen(B) sodass das ganze positiv wird?
Vielleicht geht es auch so direkt: Da A abgeschlossen ist, gilt [m]d(A,x)=0[/m] gdw. [m]x\in A[/m] (warum?), falls jetzt der Absatnd zwischen B und A null waere, gaebe es eine Folge in B, so dass der abstand von den Folgengliedern mit A gegen Null geht. Folgenkompaktheit, Widerspruch. (Kannst du die Idee ausformulieren?)
> greetz
Quiecks.
SEcki
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:11 Mi 15.06.2005 | | Autor: | Dschingis |
ja ok,
das dürfte funktionieren.
danke
|
|
|
|
