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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:55 Do 23.02.2012 | | Autor: | chesn |
| Aufgabe | Hallo! Bin an der Klausurvorbereitung und habe noch eine Frage zu folgenden Aufgaben:
Berechne:
(a) $ [mm] 10^{10000000} [/mm] \ mod \ 11 $
(b) $ [mm] 10^{11111111} [/mm] \ mod \ 11 $
(c) $ [mm] 4^{1000000} [/mm] \ mod \ 11 $ |
Einerseits habe ich mir überlegt, dass [mm] 10^1=10 [/mm] mod 11 ist und [mm] 10^2=100=1 [/mm] mod 11 und wieder [mm] 10^3=1000=10 [/mm] mod 11.
Also kann ich für a) und b) sagen, dass [mm] 10^n, [/mm] für gerade n, 1 ist und für ungerade n, 10?
Wie ist es jetzt bei [mm] 4^{1000000} [/mm] ? Da ist es dann etwas zeitaufwendiger so einen Zyklus rauszufinden. In der original Aufgabe steht, man sollte zunächst [mm] 4^5 [/mm] berechnen. Kennt jemand einen Satz oder ähnliches, was da evtl. weiter helfen könnte?
Vielen Dank schonmal!
Gruß
chesn
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Hallo chesn,
> Hallo! Bin an der Klausurvorbereitung und habe noch eine
> Frage zu folgenden Aufgaben:
>
> Berechne:
>
> (a) [mm]10^{10000000} \ mod \ 11[/mm]
> (b) [mm]10^{11111111} \ mod \ 11[/mm]
>
> (c) [mm]4^{1000000} \ mod \ 11[/mm]
> Einerseits habe ich mir
> überlegt, dass [mm]10^1=10[/mm] mod 11 ist und [mm]10^2=100=1[/mm] mod 11
> und wieder [mm]10^3=1000=10[/mm] mod 11.
> Also kann ich für a) und b) sagen, dass [mm]10^n,[/mm] für gerade
> n, 1 ist und für ungerade n, 10?
>
Ja.
> Wie ist es jetzt bei [mm]4^{1000000}[/mm] ? Da ist es dann etwas
> zeitaufwendiger so einen Zyklus rauszufinden. In der
> original Aufgabe steht, man sollte zunächst [mm]4^5[/mm] berechnen.
> Kennt jemand einen Satz oder ähnliches, was da evtl.
> weiter helfen könnte?
>
Der ![[]](/images/popup.gif) kleine fermatsche Satz hilft Dir da weiter.
> Vielen Dank schonmal!
>
> Gruß
> chesn
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:38 Do 23.02.2012 | | Autor: | chesn |
Danke, das hat sehr geholfen! :)
Mit dem Satz weiss ich jetzt, dass [mm] a^{p-1}=1 [/mm] mod p also hier:
[mm] 4^{10}=1 [/mm] mod 11
Kann ich das ganze jetzt so darstellen?:
[mm] 4^{1000}=4^{10}*...*4^{10}
[/mm]
multipliziere also [mm] 4^{10} [/mm] so oft mit sich selbst, bis ich bei [mm] 4^{1000} [/mm] bin. Da ich ja weiss dass [mm] 4^{10}=1 [/mm] mod 11 ist, muss dann [mm] 4^{1000} [/mm] auch 1 mod 11 sein. So richtig gedacht??
Danke nochmal und lieben Gruß!
chesn
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Hallo chesn,
> Danke, das hat sehr geholfen! :)
>
> Mit dem Satz weiss ich jetzt, dass [mm]a^{p-1}=1[/mm] mod p also
> hier:
>
> [mm]4^{10}=1[/mm] mod 11
>
> Kann ich das ganze jetzt so darstellen?:
>
> [mm]4^{1000}=4^{10}*...*4^{10}[/mm]
>
Aufgabe war doch: [mm]4^{1000000} \ mod \ 11[/mm] zu berechnen.
> multipliziere also [mm]4^{10}[/mm] so oft mit sich selbst, bis ich
> bei [mm]4^{1000}[/mm] bin. Da ich ja weiss dass [mm]4^{10}=1[/mm] mod 11 ist,
> muss dann [mm]4^{1000}[/mm] auch 1 mod 11 sein. So richtig
> gedacht??
>
Ja. ![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Danke nochmal und lieben Gruß!
> chesn
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:55 Fr 24.02.2012 | | Autor: | chesn |
Huhu! Dankeschön! :)
War nur etwas Tippfaul, das Ergebnis lässt sich ja übertragen.
Gruß!
chesn
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