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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:59 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
Hallo
nachdem ich nun die eine Aufgabe verstanden habe hänge ich schon wieder bei der nächsten
y'= [mm] \begin{pmatrix}
3 & 2 \\
2 & 0
\end{pmatrix} [/mm] y
wie bestimme ich hier eine allgemeine Lösung???
Danke
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Hallo mausi,
zunächst mußt Du die Eigenwerte der Matrix A bestimmen.
[mm]A\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
3 & 2 \\
2 & 0 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Zur Bestimmung der Eigenwerte ist das charakterische Polynom nötig:
[mm]\det \left( {\begin{array}{*{20}c}
{3 - \lambda } & 2 \\
2 & { - \lambda } \\
\end{array} } \right)\; = \;0[/mm]
Die Lösungen hiervon sind die Eigenwerte.
Nun bestimmt man zu den Eigenwerten entsprechende Eigenvektoren:
Die Eigenvektoren zu einem Eigenvektor sind Lösungen von
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{3 - \lambda } & 2 \\
2 & { - \lambda } \\
\end{array} } \right)\;x_\lambda \; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)
[/mm]
Die allgemeine Lösung ergibt sich zu
[mm]\left( {\begin{array}{*{20}c}
{y_1 \left( t \right)} \\
{y_2 \left( t \right)} \\
\end{array} } \right)\; = \;c_1 \;x_{\lambda _1 } \;e^{\lambda _1 t} \; + \;c_2 \;x_{\lambda _2 } \;e^{\lambda 2t} [/mm]
Gruß
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:52 Mo 21.03.2005 | | Autor: | mausi |
hatte das letztes Semester aber schon wieder völlig vergessen wie das ging *heul*
hilfe bitte
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Hallo mausi,
um die Eigenwerte der Matrix zu bestimmen, bestimmst zunächst das charakteristische Polynom:
[mm]
\begin{gathered}
\det \left( {\begin{array}{*{20}c}
{3 - \lambda } & 2 \\
2 & { - \lambda } \\
\end{array} } \right)\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\left( {3 - \lambda } \right)\;\left( { - \lambda } \right)\; - \;4\; = \;0 \hfill \\
\Leftrightarrow \;\lambda ^2 \; - \;3\lambda \; - \;4\; = \;0 \hfill \\
\end{gathered} [/mm]
Hieraus bekommst zu 2 Lösungen[mm]\lambda_{1}[/mm] und [mm]\lambda_{2}[/mm]
Um jetzt einen Eigenvektor zu einem Eigenwert [mm]\lambda[/mm] zu bestimmen, löst Du das folgende Gleichungssystem:
[mm]
\left( {\begin{array}{*{20}c}
{3 - \lambda } & 2 \\
2 & { - \lambda } \\
\end{array} } \right)\;x\; = \;\left( {\begin{array}{*{20}c}
0 \\
0 \\
\end{array} } \right)[/mm]
Dies ist dann ein Gleichungssystem mit 2 parallelen Zeilen, wovon ja nur eine genügt zu betrachten.
Aus dieser Gleichung erhältst Du dann den Eigenvektor zu diesem Eigenwert.
Gruß
MathePower
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