nochmal Logarithmen < Klassen 8-10 < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Für welche reellen x gelten die folgenden Gleichungen? |
Hallo,
ich habe noch drei Aufgaben, bei denen ich mir nicht sicher bin:
e) [mm] x^{lgx}=1
[/mm]
f) [mm] x^{lgx}=x
[/mm]
g) [mm] x^{x}=x [/mm] (x>0)
Muss man da was rechnen? Bei e) weiß ich, dass [mm] x^{0}=1 [/mm] ergibt. Eine Zahl hoch 0 ergibt immer 1.
Bei f) weiß ich, dass [mm] x^{1}=x [/mm] ergibt, denn eine Zahl hoch 1 ergibt immer sich selbst.
Eigentlich ist f) dasselbe wie g). Gilt nur für [mm] x^{1}.
[/mm]
Oder?
|
|
| |
|
Hallo Mathe-Andi,
> Für welche reellen x gelten die folgenden Gleichungen?
> Hallo,
>
> ich habe noch drei Aufgaben, bei denen ich mir nicht sicher
> bin:
>
> e) [mm]x^{lgx}=1[/mm]
>
> f) [mm]x^{lgx}=x[/mm]
>
> g) [mm]x^{x}=x[/mm] (x>0)
>
> Muss man da was rechnen? Bei e) weiß ich, dass [mm]x^{0}=1[/mm]
> ergibt. Eine Zahl hoch 0 ergibt immer 1.
Ja, welches [mm]x[/mm] erfüllt [mm]\lg(x)=0[/mm] ?
Nebenbei, du bezechnest mit [mm]\lg(x)[/mm] doch den Zehnerlogarithmus?!
>
> Bei f) weiß ich, dass [mm]x^{1}=x[/mm] ergibt, denn eine Zahl hoch
> 1 ergibt immer sich selbst.
Und wie erreichst du die Potenz 1?
>
> Eigentlich ist f) dasselbe wie g). Gilt nur für [mm]x^{1}.[/mm]
>
> Oder?
Im Prinzip ja!
Für [mm]a>0[/mm] kannst du schreiben [mm]a^b=e^{\ln\left(a^b\right)}=e^{b\cdot{}\ln(a)}[/mm]
Hier also [mm]x^x=e^{x\cdot{}\ln(x)}[/mm]
Damit kannst du die linke Seite umschreiben ...
Gruß
schachuzipus
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 07:59 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Für welche reellen x gelten die folgenden Gleichungen?
> Hallo,
>
> ich habe noch drei Aufgaben, bei denen ich mir nicht sicher
> bin:
>
> e) [mm]x^{lgx}=1[/mm]
>
> f) [mm]x^{lgx}=x[/mm]
>
> g) [mm]x^{x}=x[/mm] (x>0)
>
> Muss man da was rechnen? Bei e) weiß ich, dass [mm]x^{0}=1[/mm]
> ergibt. Eine Zahl hoch 0 ergibt immer 1.
>
> Bei f) weiß ich, dass [mm]x^{1}=x[/mm] ergibt, denn eine Zahl hoch
> 1 ergibt immer sich selbst.
>
> Eigentlich ist f) dasselbe wie g). Gilt nur für [mm]x^{1}.[/mm]
>
> Oder?
>
>
man kann auch rechnen (kurzgesagt nutze man sowas wie $a=b [mm] \gdw \lg(a)=\lg(b)$
[/mm]
und Rechengesetze für Logarithmen):
Bei e)
[mm] $$x^{\lg(x)}=1 \gdw \lg(x^{\lg(x)})=\lg(1) \gdw (\lg(x))^2=0\,.$$
[/mm]
Also?
Bei f)
[mm] $$x^{\lg(x)}=x \gdw [/mm] ... [mm] \underbrace {\gdw}_{\text{nur, wenn }\lg(x)\not=0} \lg(x)=1\,.$$
[/mm]
Bei g)
[mm] $$x^x=x \gdw \lg(x^x)=\lg(x) \gdw [/mm] ... [mm] \underbrace {\gdw}_{\text{nur, wenn }\lg(x)\not=0}x=1$$
[/mm]
Bei e) und f) musst Du Sonderfälle (dasjenige [mm] $x\,$ [/mm] mit [mm] $\lg(x)=0\,,$ [/mm] wie man sieht)
nochmal separat behandeln.
Gruß,
Marcel
|
|
|
| |
|
bei e)
[mm] x^{\lg(x)}=1 \gdw \lg(x^{\lg(x)})=\lg(1) \gdw (\lg(x))^2=0\,. [/mm]
nur, wenn x=1 bzw. wenn [mm] lg(x)\not=0, [/mm] da ich auch durch lg(x) teilen kann und das darf nicht 0 sein, allenfalls teile ich durch 0 und das ist verboten. Und die Gleichung lg(x)=0 ist nur mit x=1 erfüllt. Also entweder x=1 oder [mm] lg(x)\not=0 [/mm] kann hier als Argument dienen, das eine schließt das andere ja mit ein.
Oder?
Die anderen kann ich nachvollziehen. Es ist ja eigentlich nur Potenzgesetze anwenden, umstellen und den Definitionsbereich definieren, d.h. gucken, was nicht sein darf (Division mit 0 z.B.).
Weiter oben im Frage/Antwort-Stamm wurde gefragt ob [mm] lg(x)=log_{10}(x) [/mm] ist. Ja ist es.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:11 Mi 12.09.2012 | | Autor: | Loddar |
Hallo Andi!
Du hast korrekt umgestellt. Und die Lösungsmenge lautet hier [mm]\IL \ = \ \left\{ \ 1 \ \right\}[/mm] .
Wozu Du hier noch den Zusatz [mm]\lg(x) \ \not= \ 0[/mm] so betonst, erschließt sich mir nicht.
Gruß
Loddar
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:12 Do 13.09.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo Andi!
>
>
> Du hast korrekt umgestellt. Und die Lösungsmenge lautet
> hier [mm]\IL \ = \ \left\{ \ 1 \ \right\}[/mm] .
> Wozu Du hier noch den Zusatz [mm]\lg(x) \ \not= \ 0[/mm] so
> betonst, erschließt sich mir nicht.
vielleicht hatte er schon an Aufgabe f) oder g) geacht. Bei Aufgabe e)
braucht man das nicht:
[mm] $$(\lg(x))^2=0$$
[/mm]
gilt wegen [mm] $r^2=0 \gdw [/mm] r=0$ genau dann, wenn [mm] $\lg(x)=0\,,$ [/mm] also [mm] $x=1\,.$ [/mm] (Das nur ergänzend für Andi!)
P.S.
Oder eine andere Vermutung: Andi dachte sicher:
Okay, [mm] $r^2=0\,$ [/mm] bedeutet [mm] $r*r=0\,.$ [/mm] Für [mm] $r=0\,$ [/mm] stimmt die Gleichung,
ist aber $r [mm] \not =0\,,$ [/mm] so kann ich sie durch [mm] $r\,$ [/mm] teilen und es folgt
[mm] $r^2/r=0/r \gdw r=0\,,$ [/mm] was $r [mm] \not=0$ [/mm] widerspricht. Könnte auch sein...
Gruß,
Marcel
|
|
|
|
