normierte Zeilenstufenform < Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:20 So 25.11.2018 | | Autor: | rubi |
Hallo zusammen,
es geht darum, eine gegebene Matrix A in eine normierte Zeilenstufenform umzuformen.
Die Zeilenstufenform einer Matrix sieht z.B. so aus:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}
[/mm]
Das heißt in den ersten Spalten stehen ggf. Nullen.
Dort wo in den Zeilen eine "führende 1" steht muss in der jeweiligen Spalte ein Einheitsvektor stehen.
Ich habe nun folgende Frage.
Ich habe eine gegebene 5 x 6 - Matrix A nun wie folgt umgeformt:
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1}
[/mm]
Habe ich nun bereits eine Zeilenstufenform oder muss ich die letzte Spalte zu einer Nullspalte machen und diese als erste Spalte schreiben ?
Falls dem so ist, wüsste ich gerne, mit welchen Umformungen des Gaußalgorithmus dies funktionert.
Falls ich bereits eine Zeilenstufenform habe folgende weitere Frage:
Wenn meine Matrix eine 5 x 7 -Matrix wäre, ist es dann so, dass ich bei der Umformung mindestens eine Nullspalte in der ersten Spalte erhalten würde ?
also so:
A = [mm] \pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1}
[/mm]
oder könnte die Matrix A dann auch so aussehen ?
A = [mm] \pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 6 }
[/mm]
Vielen Dank für eure Antworten.
Ich bin immer wieder begeistert, wie schnell man von auch Antworten auf (für mich durchaus komplizierte) Fragestellungen erhält.
Grüße
Rubi
Ich habe diese Frage in keinem anderen Form gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:43 Di 27.11.2018 | | Autor: | meili |
Hallo rubi,
> Hallo zusammen,
>
> es geht darum, eine gegebene Matrix A in eine normierte
> Zeilenstufenform umzuformen.
>
> Die Zeilenstufenform einer Matrix sieht z.B. so aus:
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Das heißt in den ersten Spalten stehen ggf. Nullen.
> Dort wo in den Zeilen eine "führende 1" steht muss in der
> jeweiligen Spalte ein Einheitsvektor stehen.
Woher kommt die Idee, in den ersten Spalten müssten nur Nullen stehen?
>
> Ich habe nun folgende Frage.
> Ich habe eine gegebene 5 x 6 - Matrix A nun wie folgt
> umgeformt:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> Habe ich nun bereits eine Zeilenstufenform oder muss ich
> die letzte Spalte zu einer Nullspalte machen und diese als
> erste Spalte schreiben ?
Nun ist die normierte Zeilenstufenform erreicht.
> Falls dem so ist, wüsste ich gerne, mit welchen
> Umformungen des Gaußalgorithmus dies funktionert.
>
> Falls ich bereits eine Zeilenstufenform habe folgende
> weitere Frage:
> Wenn meine Matrix eine 5 x 7 -Matrix wäre, ist es dann
> so, dass ich bei der Umformung mindestens eine Nullspalte
> in der ersten Spalte erhalten würde ?
> also so:
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
Es kommt auf die Ausgangsmatrix an. Wenn diese Matrix das Ergebnis durch
Umformung mit dem Gauß-Jordan-Algorithmus ist, so kann die normierte
Zeilenstufenform so aussehen.
>
> oder könnte die Matrix A dann auch so aussehen ?
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 3\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 6 }[/mm]
Auch hier kommt es auf die Ausgangsmatrix an, denn die normierte
Zeilenstufenform ist eindeutig.
>
> Vielen Dank für eure Antworten.
> Ich bin immer wieder begeistert, wie schnell man von auch
> Antworten auf (für mich durchaus komplizierte)
> Fragestellungen erhält.
>
> Grüße
> Rubi
>
> Ich habe diese Frage in keinem anderen Form gestellt.
>
>
Gruß
meili
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> Hallo zusammen,
>
> es geht darum, eine gegebene Matrix A in eine normierte
> Zeilenstufenform umzuformen.
>
> Die Zeilenstufenform einer Matrix sieht z.B. so aus:
>
> A = [mm]\pmat{ 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 3 \\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 4\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 5\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 6\\
0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0}[/mm]
>
> Das heißt in den ersten Spalten stehen ggf. Nullen.
> Dort wo in den Zeilen eine "führende 1" steht muss in der
> jeweiligen Spalte ein Einheitsvektor stehen.
>
> Ich habe nun folgende Frage.
> Ich habe eine gegebene 5 x 6 - Matrix A nun wie folgt
> umgeformt:
>
> A = [mm]\pmat{ 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1}[/mm]
>
> Habe ich nun bereits eine Zeilenstufenform oder muss ich
> die letzte Spalte zu einer Nullspalte machen und diese als
> erste Spalte schreiben ?
Du kannst die 5 x 6 Matrix ja als Kurzschreibweise eines LGS (5 Gleichungen mit 5 Unbekannten) ansehen, die nach der Umformung (Gauss) die letzte Darstellung erhalten hat. Dies bedeutet nun, dass das LGS die Lösungen [mm] x_1=1, x_2=1, [/mm] ... [mm] x_5=1 [/mm] hat.
Gäbe es nun eine Möglichkeit, durch entsprechenden Umformungen hinten die Zahlen zu verändern (z.B. in Nullen), ohne das vorne auch zu tun, so würde das ja bedeuten, dass das LGS eine andere Lösung hat. Das kann aber doch nicht sein, denn die oben gefundene Lösung ist ja eindeutig.
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