orthogonale Matrizen < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:28 So 02.10.2005 | | Autor: | Bastiane |
Hallo!
Zu folgender Aufgabe suche ich einen Ansatz:
Zeigen Sie, dass für [mm] F\in [/mm] O(3) gilt: [mm] F(x)\times [/mm] F(y) = (det [mm] F)*F(x\times [/mm] y).
Kann man das irgendwie durch bloßes Hinschreiben machen? Also ich nehme mir eine allgemeine Matrix aus O(3) (das ist übrigens die orthogonale Gruppe, falls diese "Abkürzung" nicht einheitlich sein sollte), für diese gilt [mm] F^{-1}=F^T. [/mm] Dann berechne ich llgemein F(x) und F(y) und dann das Vektorprodukt davon, und andererseits berechne ich halt noch det(F) und das Vektorprodukt von x und y und dann F darauf angewendet.
Oder geht das noch mit irgendeinem "Trick"? Wäre für einen Ansatz dankbar.
Viele Grüße
Bastiane
![[cap]](/images/smileys/cap.gif "[cap]")
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 01:31 Mo 03.10.2005 | | Autor: | SEcki |
> Oder geht das noch mit irgendeinem "Trick"? Wäre für einen
> Ansatz dankbar.
Also folgende Ideen: Falls x oder y 0 sind, ist alles klar. Sei also [m]x\ne 0\ne y[/m]. Dann steht [m]x\times y[/m] auf x und y senkrecht, das heisst [m]F(x\times y)[/m] steht auf [m]F(x)[/m] und [m]F(y)[/m] senkrecht (Orthogonalität!). ebenso [m]F(x)\times F(y)[/m], dh sie liegen im selben 1-dim Unterraum. Sie haben die gleiche Länge, denn es gilt allgemien [m]||x\times y||^2=||x||^2||y||^2-^2[/m] (Fischer, Kapitel 5.2). Falls x und y linear abhängig sind, sind beide Seiten 0. Falls sie linear unabh. sind, so bilden sie mit [m]x\times y[/m] eine Basis - und zwar eine positiv orientierte. Also ist wohl die Orientierung von F genau der Vorfaktor.
SEcki
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(Antwort) fertig | | Datum: | 02:01 Mo 03.10.2005 | | Autor: | Stefan |
Liebe Christiane!
Die Überlegungen von Eckhard sind soweit richtig. Um das Ganze noch formal zu beweisen, geht man wie folgt vor:
Wie bereits von ihm angedeutet, kann man leicht
$ [mm] \Vert [/mm] F(x) [mm] \times [/mm] F(y) [mm] \Vert= \Vert [/mm] F(x [mm] \times [/mm] y) [mm] \Vert$
[/mm]
zeigen. Daraus folgt (wegen der Stetigkeit von $F$ ist die Vorzeichenfunktion stetig, daher in allen Punkten $(x,y) [mm] \in \IR^3 \times \IR^3$ [/mm] mit $F(x [mm] \times [/mm] y) [mm] \ne [/mm] 0$ konstant und in allen anderen Punkten gilt die Gleichheit sowieso):
$F(x) [mm] \times [/mm] F(y) = F(x [mm] \times [/mm] y)$
oder
$F(x) [mm] \times [/mm] F(y) = - F(x [mm] \times [/mm] y)$
für alle $x,y [mm] \in \IR^3$,
[/mm]
also:
$F(x) [mm] \times [/mm] F(y) = c F(x [mm] \times [/mm] y)$
mit $c [mm] \in \{-1,1\}$.
[/mm]
Nun folgt aber mit der Orthogonalität von $F$ und wegen [mm] $\det(F^2)=1$:
[/mm]
$1 = [mm] \det(F^2) [/mm] = [mm] \langle F(F(e_1)) \times F(F(e_2)), F(F(e_3)) \rangle [/mm] = c [mm] \langle F(F(e_1) \times F(e_2)), F(F(e_3)) \rangle [/mm] = c [mm] \langle F(e_1) \times F(e_2),F(e_3) \rangle [/mm] = c [mm] \cdot \det(F)$.
[/mm]
Daraus folgt: [mm] $\det(F)=c$.
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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