partielle- und Richtungsableit < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Sei [mm] f:\IR^2 \to \IR [/mm] definiert durch
f(x,y) = [mm] \bruch{x^2y}{x^4 + y^2} [/mm] für [mm] \vektor{x \\ y} \not= \vektor{0 \\ 0} [/mm] und f(x,y) = 0 für [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0}
[/mm]
(a) In welchen Punkten ^t(a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] ist f partiell diffbar? Berechnen Sie gegebenenfalls die partiellen Ableitungen.
(b) In welchen Punkten ^t(a,b) [mm] \in \IR^2 [/mm] existieren sämtliche Richtungsableitungen in Richtung von v mit [mm] ||v||_2 [/mm] =1? Berechnen Sie gegebenenfalls die Richtungsableitung.
(c) Ist f im Nullpunkt differenzierbar ? ( in Abhängigkeit von b) |
Hallo,
vielleicht kann mir ja jemand bei dieser Aufgabe weiterhelfen. Ich habe da nämlich ein paar Unklarheiten.
zu a) Ist das richtig, dass man sagen kann, dass f in allen Punkten ausser [mm] \vektor{x \\ y} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 0} [/mm] partiell differenzierbar ist, da f dort differenzierbar ist, da f dort eine rationale Funktion ist, die ja auf ihrem Definitionsbereich differenzierbar ist?!
Und muss ich die partielle Differenzierbarkeit dann nur noch für den Nullpunkt prüfen? Und wenn ja, wie muss ich das machen?
Muss ich ausdrücklich zeigen, dass f im Nullpunkt nach jeder Koordinate partiell differenzierbar ist? Oder gibt es eine einfachere Begründung?
zu b) Kann man auch hier sagen, dass in allen Punkten ausser dem Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen existieren, da f in diesen Punkten ja auch differenzierbar ist? Und muss ich dann nur noch für den Nullpunkt überprüfen, ob dort sämtliche Richtungsableitungen existieren?
Wie muss ich zeigen, dass im Nullpunkt sämtliche Richtungsableitungen existieren?
zuc) Hier weiß ich garnicht was ich genau zeigen soll?! Kann mir jemand dabei helfen?
Vielen dank schon mal
tinky
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Die Fkt. ist nicht stetig.
Zeige das mithilfe des Folgenkriteriums.
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