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| Aufgabe | Zeigen Sie mithilfe der neuen Variablen [mm] s=\bruch{x}{x^2+y^2} [/mm] und [mm] t=\bruch{y}{x^2+y^2}, [/mm] dass
[mm] \overline{u}_{s}^2+\overline{u}_{t}^2=(u_{x}^2+u_{y}^2)(x^2+y^2)^2
[/mm]
wobei $ [mm] u=u(x,y)\equiv [/mm] u(s,t) $ |
Hallo,
also das kommt mir ähnlich vor wie bei der Umwandlung von kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten, nur leider kann ich die Identität nicht zeigen.
Mein Ansatz war folgender:
[mm] \bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial \overline{u}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial x}=u_{x}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial u}{\partial y}=\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial y}+\bruch{\partial \overline{u}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial y}=u_{y}
[/mm]
und
[mm] \bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial s}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial s}=\overline{u}_{s}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial t}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial t}=\overline{u}_{t}
[/mm]
dann habe ich noch [mm] \bruch{\partial s}{\partial x} [/mm] usw bestimmt eingesetzt und, was ein Wunder, nicht das richtige Ergebnis bekommen. Ist denn meine Idee soweit richtig, oder habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut ?
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Zeigen Sie mithilfe der neuen Variablen
> [mm]s=\bruch{x}{x^2+y^2}[/mm] und [mm]t=\bruch{y}{x^2+y^2},[/mm] dass
>
> [mm]\overline{u}_{s}^2+\overline{u}_{t}^2=(u_{x}^2+u_{y}^2)(x^2+y^2)[/mm]
>
> wobei [mm]u=u(x,y)\equiv u(s,t)[/mm]
> Hallo,
>
> also das kommt mir ähnlich vor wie bei der Umwandlung von
> kartesischen Koordinaten in Polarkoordinaten, nur leider
> kann ich die Identität nicht zeigen.
>
> Mein Ansatz war folgender:
>
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial \overline{u}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial x}=u_{x}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial y}+\bruch{\partial \overline{u}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial y}=u_{y}[/mm]
>
> und
>
> [mm]\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial s}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial s}=\overline{u}_{s}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial t}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial t}=\overline{u}_{t}[/mm]
>
> dann habe ich noch [mm]\bruch{\partial s}{\partial x}[/mm] usw
> bestimmt eingesetzt und, was ein Wunder, nicht das richtige
> Ergebnis bekommen. Ist denn meine Idee soweit richtig, oder
> habe ich irgendwo einen Fehler eingebaut ?
Die Idee ist soweit richtig.
Benutze hier entweder
[mm]\bruch{\partial u}{\partial x}=\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial x}+\bruch{\partial \overline{u}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial x}=u_{x}[/mm]
[mm]\bruch{\partial u}{\partial y}=\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}*\bruch{\partial s}{\partial y}+\bruch{\partial \overline{u}}{\partial t}*\bruch{\partial t}{\partial y}=u_{y}[/mm]
oder
[mm]\bruch{\partial \overline{u}}{\partial s}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial s}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial s}=\overline{u}_{s}[/mm]
[mm]\bruch{\partial \overline{u}}{\partial t}=\bruch{\partial u}{\partial x}*\bruch{\partial x}{\partial t}+\bruch{\partial u}{\partial y}*\bruch{\partial y}{\partial t}=\overline{u}_{t}[/mm]
>
> Lg
Gruss
MathePower
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Hallo,
danke für deine antwort, ich werde nur leider nicht ganz schlau... Meinst du ich soll bsp den ausdruck für [mm] \bruch{\partial \overline{u}}{\partial s} [/mm] in die anderen einsetzen, oder was meintest du mit "benutze hier entweder...oder..."
lg
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:07 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
sicher, daß es nicht
$ [mm] \overline{u}_{s}^2+\overline{u}_{t}^2=(u_{x}^2+u_{y}^2)(x^2+y^2)^2 [/mm] $
sein soll?
Darauf käme ich.
Und zwar einfach durch Ausrechnen von (ausführlicher geschrieben; nur um sicher zu sein, daß wir über das gleiche reden=):
[mm] $\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2$
[/mm]
Dein Fehler ist dann irgendwo in der Rechnung.
Zwischenergebnisse:
[mm] $s_x=-t_y$, $t_x=s_y$
[/mm]
[mm] $u_x^2+u_y^2=(s_x^2+s_y^2)(u_s^2+u_t^2)$
[/mm]
[mm] $s_x^2+s_y^2=\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)^2}$
[/mm]
ciao
Stefan
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:45 Fr 12.03.2010 | | Autor: | MontBlanc |
Hallo,
du hast recht, es ist [mm] (x^2+y^2)^2.
[/mm]
ich korrigiere das sofort.
lg
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> Hi,
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> sicher, daß es nicht
> [mm]\overline{u}_{s}^2+\overline{u}_{t}^2=(u_{x}^2+u_{y}^2)(x^2+y^2)^2[/mm]
>
> sein soll?
>
> Darauf käme ich.
>
> Und zwar einfach durch Ausrechnen von (ausführlicher
> geschrieben; nur um sicher zu sein, daß wir über das
> gleiche reden=):
> [mm]\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2[/mm]
>
> Dein Fehler ist dann irgendwo in der Rechnung.
>
> Zwischenergebnisse:
> [mm]s_x=-t_y[/mm], [mm]t_x=s_y[/mm]
>
> [mm]u_x^2+u_y^2=(s_x^2+s_y^2)(u_s^2+u_t^2)[/mm]
Müsste es hier nicht [mm] \overline{u}_{s}^2 [/mm] sein ?
> [mm]s_x^2+s_y^2=\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)^2}[/mm]
>
> ciao
> Stefan
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Hallo eXeQteR,
> > Hi,
> >
> > sicher, daß es nicht
> >
> [mm]\overline{u}_{s}^2+\overline{u}_{t}^2=(u_{x}^2+u_{y}^2)(x^2+y^2)^2[/mm]
> >
> > sein soll?
> >
> > Darauf käme ich.
> >
> > Und zwar einfach durch Ausrechnen von (ausführlicher
> > geschrieben; nur um sicher zu sein, daß wir über das
> > gleiche reden=):
> > [mm]\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)^2+\left(\frac{\partial u}{\partial y}\right)^2[/mm]
>
> >
> > Dein Fehler ist dann irgendwo in der Rechnung.
> >
> > Zwischenergebnisse:
> > [mm]s_x=-t_y[/mm], [mm]t_x=s_y[/mm]
> >
> > [mm]u_x^2+u_y^2=(s_x^2+s_y^2)(u_s^2+u_t^2)[/mm]
>
> Müsste es hier nicht [mm]\overline{u}_{s}^2[/mm] sein ?
>
Nach den Formeln, die Du aufgeschrieben hast, muß das so sein.
>
> > [mm]s_x^2+s_y^2=\frac{1}{\left(x^2+y^2\right)^2}[/mm]
> >
> > ciao
> > Stefan
>
Gruss
MathePower
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Hi,
ich kriege es einfach nicht auf die Reihe, hier meine Rechnung :
[mm] \overline{u}_{s}=u_{x}*s_{x}^{-1}+u_{y}*s_{y}^{-1}
[/mm]
[mm] \overline{u}_{t}=u_{x}*s_{y}^{-1}+u_{y}*s_{x}^{-1}
[/mm]
[mm] \overline{u}_{s}^{2}+\overline{u}_{t}^{2}=\left(\bruch{u_{x}}{s_{x}}\right)^2+\left(\bruch{u_{y}}{s_{y}}\right)^2+\left(\bruch{u_{x}}{s_{y}}\right)^2+\left(\bruch{u_{y}}{s_{x}}\right)^2
[/mm]
[mm] =\left(\bruch{u_{x}^2+u_{y}^2}{s_{x}^2}\right)+\left(\bruch{u_{x}^2+u_{y}^2}{s_{y}^2}\right)
[/mm]
[mm] =(u_{x}^2+u_{y}^2)*\left(\bruch{1}{s_{x}^2}+\bruch{1}{s_{y}^2}\right)
[/mm]
Und von dort komme ich einfach nicht auf die gewünschte form, es muss irgendwo was falsch sein. Ich sehe es nur leider nicht mehr. Langsam werd ich echt verrückt.
Lg
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Hallo eXeQteR,
> Hi,
>
> ich kriege es einfach nicht auf die Reihe, hier meine
> Rechnung :
>
> [mm]\overline{u}_{s}=u_{x}*s_{x}^{-1}+u_{y}*s_{y}^{-1}[/mm]
>
> [mm]\overline{u}_{t}=u_{x}*s_{y}^{-1}+u_{y}*s_{x}^{-1}[/mm]
Die Formeln sind einfach nicht richtig.
Verwende hier lieber
[mm]u_{x}=\overline{u}_{s}*s_{x}+\overline{u}_{t}*t_{x}[/mm]
[mm]u_{y}=\overline{u}_{s}*s_{y}+\overline{u}_{t}*t_{y}[/mm]
mit den Dir bekannten Beziehungen:
[mm] s_x=-t_y , \ t_x=s_y [/mm]
>
> [mm]\overline{u}_{s}^{2}+\overline{u}_{t}^{2}=\left(\bruch{u_{x}}{s_{x}}\right)^2+\left(\bruch{u_{y}}{s_{y}}\right)^2+\left(\bruch{u_{x}}{s_{y}}\right)^2+\left(\bruch{u_{y}}{s_{x}}\right)^2[/mm]
>
> [mm]=\left(\bruch{u_{x}^2+u_{y}^2}{s_{x}^2}\right)+\left(\bruch{u_{x}^2+u_{y}^2}{s_{y}^2}\right)[/mm]
>
> [mm]=(u_{x}^2+u_{y}^2)*\left(\bruch{1}{s_{x}^2}+\bruch{1}{s_{y}^2}\right)[/mm]
>
> Und von dort komme ich einfach nicht auf die gewünschte
> form, es muss irgendwo was falsch sein. Ich sehe es nur
> leider nicht mehr. Langsam werd ich echt verrückt.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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hi,
ich habe es hinbekommen.
aber was war an den formeln oben falsch ? was ich gemacht habe, war im prinzip das gleiche wie für die [mm] \overline{u}'s.
[/mm]
Lg
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Hallo eXeQteR,
> hi,
>
> ich habe es hinbekommen.
>
> aber was war an den formeln oben falsch ? was ich gemacht
> habe, war im prinzip das gleiche wie für die
> [mm]\overline{u}'s.[/mm]
Nun, ich denke die Formeln für [mm]\overline{u}_{s}, \overline{u}_{t}.[/mm]
haben nicht gestimmt.
>
> Lg
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 20:57 Fr 12.03.2010 | | Autor: | Blech |
Hi,
mit [mm] $\partial [/mm] x$ und Co fröhlich rumzurechnen, als wären es Zahlen bringt i.a. nur Blut, Schweiß und Tränen, wenn mehr als zwei Buchstaben involviert sind.
[mm] $\frac{\partial x}{\partial s}\neq \frac1{\frac{\partial s}{\partial x}}$
[/mm]
[mm] $x=\frac{s}{s^2+t^2}$ [/mm] (weil [mm] $s^2+t^2=\frac1{x^2+y^2}$)
[/mm]
d.h. die Ableitungen schauen gleich aus, nur mit vertauschten Namen, also sieht man es leicht.
ciao
Stefan
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