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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:03 Do 27.03.2014 | | Autor: | Lila_1 |
| Aufgabe | | Positive Matrizen mit ihrer zugehörigen Operatornorm. Sei [mm] {\parallel A \parallel} \le {\parallel |A |\parallel}. [/mm] |
Hallo,
kann jmd. von euch mir erklären was damit gemeint ist?
Ubd es mit anhand einer stochastischen Matrix zeigen?
Für Positive Matrizen gilt: A > 0.
Für stochastische Matrizen gilt: die Einträge der Matrix nehmen die Werte zw. 0 und 1 an.
Und es gilt: die Zeilen- oder Spaltensumme ist gleich 1.
Danke für eure Hilfe
lila
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:33 Do 27.03.2014 | | Autor: | fred97 |
> Positive Matrizen mit ihrer zugehörigen Operatornorm. Sei
> [mm]{\parallel A \parallel} \le {\parallel |A |\parallel}.[/mm]
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> Hallo,
> kann jmd. von euch mir erklären was damit gemeint ist?
> Ubd es mit anhand einer stochastischen Matrix zeigen?
> Für Positive Matrizen gilt: A > 0.
> Für stochastische Matrizen gilt: die Einträge der Matrix
> nehmen die Werte zw. 0 und 1 an.
> Und es gilt: die Zeilen- oder Spaltensumme ist gleich 1.
Zunächst einige Definitionen:
Sei $A$ eine reelle nxn-Matrix. Dann ist $A^TA$ symmetrisch und positiv semidefinit.
Man kann zeigen: es gibt genau eine symmetrische und positiv semidefinite Matrix B mit:
[mm] B^2=A^TA.
[/mm]
Dann def. man: $|A|:=B$
Ist auf dem [mm] \IR^n [/mm] die Euklidnorm [mm] ||*||_2 [/mm] gegeben, so def. man auf der Menge der nxn-Matrizen folgende Norm
[mm] ||A||_2:= [/mm] max [mm] \{||Ax||_2: x \in \IR^n, ||x||_2=1\}.
[/mm]
Dann gilt:
$ [mm] {\parallel A \parallel}_2 [/mm] = [mm] {\parallel |A |\parallel}_2. [/mm] $
FRED
>
> Danke für eure Hilfe
> lila
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