reelle zahl als reihe < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 00:03 Sa 27.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Ich muss folgende aufgabe lösen, die mir zwar anschaulich total klar ist, dass diese Aussage gilt, aber ich weiß leider nicht, wie ich diese Aussage beweisen soll.
Ich soll nämlich zeigen, dass jede Zahl a [mm] \in [/mm] [0,1[ in der Form
a = [mm] \summe_{n=0}^{ \infty} d_{i} 10^{-i}, [/mm] wobei [mm] d_{i} \in [/mm] {0,1, ..., 9} ist,
geschrieben werden kann.
Ich kann ich das beweisen in einem sauberen mathematischen Beweis?
Danke
Destiny
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Hallo destiny,
wenn du dieser Aussage über zwei reelle Zahlen x und y zustimmen kannst:
[mm](\forall\varepsilon>0:|x-y|<\varepsilon)\Rightarrow x=y[/mm],
dann brauchst du nur zu jedem vorgegebenem [mm] \varepsilon [/mm] eine endliche Summe angeben, die sich um weniger als [mm] \varepsilon [/mm] von a unterscheidet.
Hugo
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:38 So 28.11.2004 | | Autor: | destiny |
Hallo!
Es tut mir leid! nicht, dass ich faul bin oder so, aber ich versteh nicht ganz, was du meinst.
Was soll ich konkret tun? Was meinst du mit zwei zahlen "zustimmen"?
ich soll das allgemein beweisen.
Kannst du mir einen konkreteren tipp geben, bitte!
danke!
Destiny
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Hallo destiny,
mach dir doch keine Sorgen, ich geb dir einen konkreteren Hinweis.
Du muss keinen Zahlen zustimmen, sondern nur der getroffenen Aussage, die in Worten etwa so lautet:
Hat man zwei reelle Zahlen gegeben und man stellt fest, dass diese beiden Zahlen sich um weniger als einen vorgegebenen Abstand unterscheiden, egal wie klein der vorgegebene Abstand ist, dann müssen die beiden Zahlen in Wirklichkeit gleich, also ein- und dieselbe Zahl sein.
Deswegen kannst du für jeden vorgegebenen Abstand [mm] \varepsilon [/mm] eine Dezimalstelle angeben, so dass sich die Zahl a und ihre dort abgebrochene Dezimaldarstellung um weniger als [mm] \varepsilon [/mm] unterscheiden.
z.B.:
[mm] a=\sqrt{2},\ \varepsilon=0,01
[/mm]
Dann ist die Entwicklung 1,41 von [mm] \sqrt{2} [/mm] ausreichend nahe an [mm] \sqrt{2} [/mm] dran. Für jedes andere positive [mm] \varepsilon [/mm] muss man mehr oder weniger viele Dezimalen berücksichtigen, aber immer findet man einen endlichen Dezimalbruch der ausreichend nahe bei a liegt.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:50 So 28.11.2004 | | Autor: | destiny |
hallo!
es tut mir wirklich wirklich leid, aber ich weiß nicht, wie ich deinen Tipp in meiner aufgabe umsetzen soll.
Ich hab verstanden, was du mir erklärt hast, aber ich weiß nicht weiter.
Nicht, dass du es missverstehst, dass ich zu faul bin zu denken, aber ich versteh es wirklich nicht.
Kannst du mir vielleicht einen weiteren tipp geben? Ich wär dir echt dankbar!
Destiny
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Das ist doch gar nicht so schlimm.
Also du gibst dir einen maximalen Abstand zwischen endlicher Dezimalbruchentwicklung und tatsächlichem Wert von a vor.
Wenn du genügend Dezimalstellen berücksichtigst, dann kommst du unter den vorgegebenen Abstand.
Diese Vorgehensweise ist immer möglich und deshalb sind a und seine nicht-abgebrochene Dezimalbruchentwickung gleich.
Für [mm] \varepsilon=0.000241 [/mm] musst du eben bis zur 4. Nachkommastelle gehen. Eine dann noch mögliche Änderung in der 5. Nachkommestelle wirkt sich nicht mehr stark genug aus, um weiter als [mm] \varepsilon [/mm] von a weg zu kommen.
Hugo
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