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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:37 Do 10.04.2008 | | Autor: | lenz |
| Aufgabe | für welche n [mm] \in \IN [/mm] ist
[mm] f_{n} :\IR \rightarrow \IR [/mm] , [mm] f_{n}(x)=\begin{cases} x^{n}cos\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x{\not=0} \\ 0, & \mbox{für } x{ =0} \end{cases}
[/mm]
in 0 stetig bzw.differenzierbar? falls [mm] f_{n}'(x) [/mm] für alle x [mm] \in \IR [/mm] existiert:
ist [mm] f_{n}' [/mm] regelfunktion? |
hallo
hab für die stetigkeit: [mm] |f(x)-f(x_{0})|=|x^{n}cos(1/x)-0|
mit [mm] delta=\wurzel[n]{\bruch{epsilon}{cos(1/x)}} (x_{0}=0)
[/mm]
für die diffbarkeit hab ich [mm] \bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{x^{n}cos(1/x)}{x}=x^{n-1}cos(1/x)
[/mm]
das soll jetzt eigentlich die ableitung an der stelle [mm] x_{0} [/mm] sein,soweit ich das verstanden hab,
was es aber nicht ist wenn ich mich nicht irre,wo ist/sind hier mein(e) fehler?
für die regelfunktion ist zu zeigen das es für alle x aus dem def.bereich einen rechts- und linksseitigen grenzwert gibt.kein plan wie das mache.kann ich einfach damit argumentieren
das [mm] x^{n} [/mm] und cos stetig auf [mm] \IR [/mm] sind,damit auch die verknüpfung womit es eine regelfkt.wäre?
danke im voraus
gruß lenz
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:33 Do 10.04.2008 | | Autor: | pelzig |
> für welche n [mm]\in \IN[/mm] ist
> [mm]f_{n} :\IR \rightarrow \IR[/mm] , [mm]f_{n}(x)=\begin{cases} x^{n}cos\bruch{1}{x}, & \mbox{für } x{\not=0} \\ 0, & \mbox{für } x{ =0} \end{cases}[/mm]
>
> in 0 stetig bzw.differenzierbar? falls [mm]f_{n}'(x)[/mm] für alle x
> [mm]\in \IR[/mm] existiert:
> ist [mm]f_{n}'[/mm] regelfunktion?
> hallo
> hab für die stetigkeit:
> [mm]|f(x)-f(x_{0})|=|x^{n}cos(1/x)-0|
>
> mit [mm]delta=\wurzel[n]{\bruch{epsilon}{cos(1/x)}} (x_{0}=0)[/mm]
In deinem [mm] $\delta(\varepsilon)$ [/mm] darf kein $x$, sondern nur [mm] $\varepsilon$ [/mm] und evtl. [mm] $x_0$, [/mm] also die Stelle an der du die Stetigkeit untersuchst, vorkommen.
Die Abschätzung könnte z.B. so gehen:
[mm] $|f(x)-f(x_{0})|=|x^{n}cos(1/x)-0|=\underbrace{|x^n|}_{\le|x|\mbox{ für }|x|\le 1}\cdot\underbrace{|cos(1/x)|}_{\le 1}\le|x|<\varepsilon \mbox{ für }|x-x_0|<\varepsilon =:\delta(\varepsilon)$
[/mm]
Edit: genaugenommen ist hier [mm] $\delta(\varepsilon):=\min\{1,\varepsilon\}$, [/mm] aber da man in solchen Stetigkeitsbeweisen häufig o.B.d.A. [mm] $|x-x_0|keine Beschränkung der Allgemeinheit ist.
> für die diffbarkeit hab ich
> [mm]\bruch{f(x)-f(x_{0})}{x-x_{0}}=\bruch{x^{n}cos(1/x)}{x}=x^{n-1}cos(1/x)[/mm]
> das soll jetzt eigentlich die ableitung an der stelle
> [mm]x_{0}[/mm] sein,soweit ich das verstanden hab,
> was es aber nicht ist wenn ich mich nicht irre,wo ist/sind
> hier mein(e) fehler?
Die Umformungen sind schon richtig, vergiss aber nicht dass du den Grenzwert von $x$ gegen $0$ betrachtest, also:
[mm] $...=\lim_{x\to0}x^{n-1}\cos(1/x)\stackrel{!}{=}0$ [/mm] für [mm] $n\ge2$, [/mm] da wie oben $cos(1/x)$ beschränkt ist und [mm] $x^{n-1}$ [/mm] für [mm] $n\ge2$ [/mm] (!) gegen 0 geht (Was ist mit n=1?).
> für die regelfunktion ist zu zeigen das es für alle x aus
> dem def.bereich einen rechts- und linksseitigen grenzwert
> gibt.kein plan wie das mache.
Also Regelfunktion sagt mir jezz persönlich nix, aber so wie du es sagst ist es für [mm] $n\ge3$ [/mm] Regelfunktion, da [mm] $f_n(x)$ [/mm] dann stetig-differenzierbar ist (also insbesondere stetig ist) und somit für jede Stelle rechts- und linksseite Grenzwerte existieren, die eben genau mit dem Funktionswert an der Stelle übereinstimmen. Für $n=2$ ist die Ableitung an der Stelle [mm] $x_0$ [/mm] aber nicht stetig (warum?), insbesondere existieren auch rechts- und linksseitiger Grenzwert nicht, somit wär das keine Regelfunktion.
> kann ich einfach damit argumentieren
> dass [mm]x^{n}[/mm] und cos stetig auf [mm]\IR[/mm] sind,damit auch die
> verknüpfung womit es eine regelfkt.wäre?
Prinzipiell ja, aber es geht ja erstens um [mm] $f_n'(x)$ [/mm] und zweitens ist $1/x$ nicht stetig in [mm] $x_0=0$[/mm]
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