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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:05 Mi 20.07.2011 | | Autor: | frato |
Heyho,
ich lerne momentan für eine Klausur und bin bei einer Aufgabe/bzw. deren Lösung auf Rektifizierbarkeit gestoßen. Da ich das noch nie gehört habe und in meinen Unterlagen ebenfalls nichts zu finden war, habe ich versucht mich im Internet schlau zu machen, was denn das genau ist...
Habe ich es richtig verstanden, dass Rektifizierbarkeit bedeutet, dass man die Länge einer Kurve angeben kann? Das die Länge also nicht unendlich ist...?
Vielen Dank!
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Moin frato,
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> Habe ich es richtig verstanden, dass Rektifizierbarkeit
> bedeutet, dass man die Länge einer Kurve angeben kann?
Jo, eine mögliche Definition ist:
Eine Kurve [mm] f:[a,b]\to\IR^n [/mm] heißt rektifizierbar mit der Länge L, wenn zu jedem [mm] \varepsilon>0 [/mm] ein [mm] \delta>0 [/mm] existiert, sodass für jede Zerlegung
[mm] a=t_0
der Feinheit [mm] \leq\delta [/mm] gilt:
[mm] \left|\sum_{i=1}^k\|f(t_i)-f(t_{i-1})\|-L\right|\leq\varepsilon.
[/mm]
> Das die Länge also nicht unendlich ist...?
Ja, siehe auch hier.
LG
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Mi 20.07.2011 | | Autor: | frato |
Ok. Danke.
Wenn ich aber bei deinem Link schaue, dann heißt es dort:
Ist $ [mm] L(f)\le\infty [/mm] $, so heißt f rektifizierbar.
Muss das nicht $ [mm] L(f)<\infty [/mm] $ heißen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:38 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
> Ok. Danke.
> Wenn ich aber bei deinem Link schaue, dann heißt es dort:
> Ist [mm]L(f)\le\infty [/mm], so heißt f rektifizierbar.
Dann wäre ja jedes f rektifizierbar !
> Muss das nicht [mm]L(f)<\infty[/mm] heißen?
Genau
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:37 Mi 20.07.2011 | | Autor: | fred97 |
Ich würde es etwas einfacher definieren:
Sei $ [mm] f:[a,b]\to\IR^n [/mm] $ stetig. Für eine Zerlegung $Z= [mm] \{t_0, ..., t_k\}$ [/mm] des Intervalls [a,b] sei
$L(Z):= [mm] \sum_{i=1}^k\|f(t_i)-f(t_{i-1})\|$
[/mm]
f heißt rektifizierbar, wenn es ein M [mm] \ge [/mm] 0 gibt mit:
$L(Z) [mm] \le [/mm] M$
für jedes Zerlegung Z von [a,b].
In diesem Fall heißt
$L(f): = sup [mm] \{ L(Z): Z ~~Zerlegung~~ von~~ [a,b]\}$
[/mm]
die Länge von f.
Ist [mm] $f=(f_1,,..,f_n)$, [/mm] so gilt:
f ist rektifizierbar [mm] \gdw [/mm] alle [mm] f_1, [/mm] ..., [mm] f_n [/mm] sind auf [a,b] von beschränkter Variation.
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:58 Mi 20.07.2011 | | Autor: | frato |
Wie immer perfekt! Ich habs verstanden. Vielen Dank!
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