rekursive folge < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:44 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hallo
tut mir leid dass ich heute so viel poste... bald schreib ich ne klausur :(
ein problem das sich bei mir eignt. öfters stellt sind rekursive folgen bzw. reihen, wenn man sie auf konvergenz untersuchen soll.
bsp.
a1 = 1
[mm] a_{n+1}=\bruch{4+3*a_{n}}{3+2*a_{n}}
[/mm]
ja sowas zum beispiel. diese folge soll auf konvergenz untersucht werden und ihr grenzwert bestimmt werden.
was ist bei solchen fragestellungen die heransgehenweise?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 15:57 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
allgemeines Vorgehen:
WENN das Ding nen GW g hat gilt für n gegen [mm] \infty: a_n=a_{n+1}=g
[/mm]
setz das in die Formel ein, und du hast den GW.
Mathematisch ist das illegal, weil es die Existenz des GW voraussetzt. Aber strategisch ist es gut.
Hier findest du etwa dann [mm] g=\wurzel{2}
[/mm]
2. Schritt. Nachweis, dass die Folge ab irgend einem n monoton wächst (oder fällt) und nach oben (bzw. unten) beschränkt ist. das hat die Existenz des GW zur Folge.
Wieder strategisch: was tun die ersten paar Glieder. oft erfolgreich : zuerst grobe Schranke finden hier etwa [mm] a_n<2 [/mm] dann die Monotonie, wobei man die Schranke schon benutzt.
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:07 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Phecda |
ok du sprichst davon, dass die methode zur grenzwertbestimmung illegal ist. wie schreib ich das denn in der klausur hin, damit die mir nix abziehen?
und auf was gründet diese methode?
cauchyfolge?, dass der abstand zweier folgeglieder immer geringer wird?
danke leduart
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:19 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
2 Methoden für die Kl:
1. du schreibst: Falls es einen GW gibt muss er sein:
2. du rechnest ihn halt heimlich aus, und nennst ihn noch nicht GW sondern Nebenrechnung! Dann zeigst du erst die Existenz und rechnest ihn dann offiziell.
Cauchyfolge ist gut, aber bitte allgemeiner [mm] |a_n-a_{n+m}| [/mm] wird immer kleiner (es gibt auch rekursive Folgen mit [mm] a_n,a_{n-1}a_{n+1} [/mm] usw) am einfachsten ist wenn g ex. ist [mm] \lim{a_n}=\lim{a_{n+m}}
[/mm]
Gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:24 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi
wie zeig ich denn offiziel, dass das ganze gegen wurzel2 konvergiert.
ok so in der theorie finde ich das alles nachvollziehbar, aber ich tu mir schwer z.b. die schranken festzulegen,
oder wie zeige ich denn die monotonie. okay a(n+1)> oder < a(n) und dann hab ich zumschluss da stehen. [mm] a^2(n)> [/mm] 2 was bedeutet das nun
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Hallo Phecda!
Nochmal zur Vorgehensweise ...
Berechne Dir zunächst die ersten Folgenglieder, evtl. so 5 bis 6. Daraus sollte man dann schon erkennen können, ob hier eine Monotonie vorliegt. Und man erhält dann auch einen Verdacht bezüglich der Besschränktheit.
Beide Eigenschaften (Beschränktheit und Monotonie) weist man bei rekursiven Folgen in den meisten Fällen mittels vollständiger Induktion nach.
Aus der Beschränktheit und der Monotonie folgt dann unmittelbar die Konvergenz, die Du dann über den Ansatz $g \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_n [/mm] \ = \ [mm] \limes_{n\rightarrow\infty}a_{n+1}$ [/mm] löst.
Gruß vom
Roadrunner
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:51 Mi 06.02.2008 | | Autor: | Phecda |
hi okay verstanden .. nur das problem ist wie zeige ich bsp. monotonie oder beschränktheit mit induktion nach?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:51 Mi 06.02.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Das ist immer etwas verschieden, man muss halt abschätzen. Das kann man nicht allgemein sagen. Versuchs mit einigen Folgen, und zeige wo du scheiterst.
Gruss leduart
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