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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:01 Di 17.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
| Aufgabe | | Sei [mm] (A_n)_{n\in\IN} [/mm] eine Folge separabler Teilmengen des metrischen Raums (X,d). Zeige: [mm] \overline{\bigcup_n A_n} [/mm] ist separabel. |
Hallo,
da für alle [mm] n\in\IN [/mm] die [mm] A_n [/mm] separabel sind, gibt es für jedes n eine abzählbare Teilmenge [mm] B_n [/mm] von [mm] A_n, [/mm] sodass [mm] B_n [/mm] dicht in [mm] A_n [/mm] liegt. Die abzählbare Vereinigung abzählbarer Mengen ist abzählbar und damit [mm] \bigcup_n B_n [/mm] abzählbar. Wie kann ich nun zeigen, dass [mm] \overline{\bigcup_n B_n}=\overline{\bigcup_n A_n} [/mm] gilt oder muss ich die Aussage anders zeigen?
Vielen Dank im Voraus.
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> Sei [mm](A_n)_{n\in\IN}[/mm] eine Folge separabler Teilmengen des
> metrischen Raums (X,d). Zeige: [mm]\overline{\bigcup_n A_n}[/mm] ist
> separabel.
> Hallo,
>
> da für alle [mm]n\in\IN[/mm] die [mm]A_n[/mm] separabel sind, gibt es für
> jedes n eine abzählbare Teilmenge [mm]B_n[/mm] von [mm]A_n,[/mm] sodass [mm]B_n[/mm]
> dicht in [mm]A_n[/mm] liegt. Die abzählbare Vereinigung
> abzählbarer Mengen ist abzählbar und damit [mm]\bigcup_n B_n[/mm]
> abzählbar. Wie kann ich nun zeigen, dass
> [mm]\overline{\bigcup_n B_n}=\overline{\bigcup_n A_n}[/mm] gilt oder
> muss ich die Aussage anders zeigen?
Das ist schon der richtige Ansatz und der Rest ist auch nicht mehr wirklich schwer:
Zu [mm] x\in\overline{\bigcup_n A_n} [/mm] und [mm] \epsilon>0 [/mm] gibt es ein [mm] A_n [/mm] und ein [mm] y\in A_n [/mm] mit [mm] d(x,y)<\frac{\epsilon}{2}
[/mm]
Dann gibt es ein [mm] z\in B_n [/mm] mit [mm] d(y,z)<\frac{\epsilon}{2}
[/mm]
>
> Vielen Dank im Voraus.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:58 Di 17.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
Warum ist [mm] d(x,y)<\varepsilon/2? [/mm] Falls x im Inneren von $ [mm] \overline{\bigcup_n A_n} [/mm] $ ist es mir klar.
Danke.
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> Hallo,
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> Warum ist [mm]d(x,y)<\varepsilon/2?[/mm] Falls x im Inneren von
> [mm]\overline{\bigcup_n A_n}[/mm] ist es mir klar.
>
> Danke.
[mm] x\in\overline{\bigcup_n A_n} [/mm] bedeutet, dass in jeder Umgebung von x Punkte aus [mm] \bigcup_n A_n [/mm] liegen.
Also gibt es auch [mm] y\in\bigcup_n A_n [/mm] mit [mm] d(x,y)<\varepsilon/2
[/mm]
Und da y in der Vereinigung der [mm] A_n [/mm] liegt, muss es in einem der [mm] A_n [/mm] liegen.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:20 Di 17.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
ein Element x ist im Abschluss einer Menge genau dann wenn es eine konvergente Folge in der gegebenen Menge gibt, die gegen x konvergiert. Also muss es auch eine entsprechende Epsilon-Umgebung geben.
Vielen Dank, ich habe es verstanden!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:04 Di 17.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Hallo,
in einer weiteren Aufgabe habe ich gezeigt, dass jeder kompakte metrische Raum separabel ist. Nun soll ich daraus folgern, dass jeder endlichdimensionale K-Vektorraum separabel sein muss.
Abgeschlossene Epsilon-Kugel sind in endlichdimensionalen K-Vektoräumen kompakt und damit sind sie separabel. Kann man nun die erste Aufgabe (Abschluss von vereinigten separablen Mengen) verwenden?
Danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:21 Di 17.01.2012 | | Autor: | SEcki |
> Kann
> man nun die erste Aufgabe (Abschluss von vereinigten
> separablen Mengen) verwenden?
Ja.
SEcki
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 22:21 Mi 18.01.2012 | | Autor: | katrin10 |
Danke!
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