spezielle lineare Gruppe < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:32 So 03.05.2009 | | Autor: | elba |
| Aufgabe | | zu zeigen: [mm] PSL(2,4)\cong [/mm] PSL(2,5) [mm] \cong A_{5} [/mm] |
also ich soll zeigen, dass diese gruppen isomorph sind. allerdings weiß ich nicht wie.
und wie bestimmt man die ordnung dieser gruppen. für die gruppe PSL(2,7) habe ich das gefunden:
[mm] 7^2-1=48 [/mm] Möglichkeiten für die erste spalte, [mm] 7^2-7=47 [/mm] Möglichkeiten für die zweite Spalte, geteilt durch 7-1=6 Möglichkeiten und durch 2, also hat man: (48*43)/(6*2)=168.
Kann mir vielleicht jemand erklären warum diese Möglichkeiten gelten.
vielen Dank :)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:42 So 03.05.2009 | | Autor: | andreas |
hi
also erstmal zu der ordnungsfrage: man berechnet zunächst [mm] $|\mathrm{GL}(n, [/mm] q)|$: eine matrix $A [mm] \in \mathbb{F}_q^{n \times n}$ [/mm] liegt genau dann in [mm] $\mathrm{GL}(n, [/mm] q)$, wenn ihre spalten linear unabhängig sind. wenn man solch eine matrix nun sukzessive aufbaut - zunächst die erste spalte wählt, dann die nächste und so weiter - hat man für die erste spalte wieviele wahlmöglichkeiten, dass diese alleine lineare unabhängig ist? wenn man nun schon eine spalte gewählt hat, wieviele möglichkeiten gibt es dann, eine zweite spalte zu wählen, damit diese beiden vektoren linear unabhängig sind? wie groß ist folglich [mm] $|\mathrm{GL}(n, [/mm] q)|$?
für jeden körper $K$ hat man die kurze exakte sequenz
$1 [mm] \longrightarrow \mathrm{SL}(n, [/mm] K) [mm] \longrightarrow \mathrm{GL}(n, [/mm] K) [mm] \stackrel{\det}{\longrightarrow} K^\times \longrightarrow [/mm] 1$
folglich ist [mm] ${}^{\displaystyle{\mathrm{GL}(n, K)}}/{}_{\displaystyle{\mathrm{SL}(n, K)}} \cong K^\times$. [/mm] wie kann man damit die ordnung von [mm] $\mathrm{SL}(n, [/mm] K)$ berechnen? was fehlt nun noch um zu [mm] $\mathrm{PSL}(n, [/mm] q)$ zu kommen?
zu den gewünschten isomorphien: für [mm] $\mathrm{PSL}(2, [/mm] 4) [mm] \cong \mathrm{A}_5$ [/mm] betrachte etwa die operation von [mm] $\mathrm{PSL}(2, [/mm] 4)$ auf der projektiven gerade [mm] $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_4)$. [/mm] wie viele elemente enthält [mm] $\mathbb{P}^1(\mathbb{F}_4)$? [/mm] ist die operation treu? damit kann man [mm] $\mathrm{PSL}(2, [/mm] 4)$ als untergruppe welcher symmetrischen gruppe auffassen?
probiere mal die gestellten fragen zu beantworten und die lücken auszufüllen. frag nach, wenn probleme dabei auftreten.
grüße
andreas
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