stetigkeit zeigen aus Def < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:46 Mo 11.06.2012 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Zeige direkt aus der Definition der Stetigkeit, dass
(a) f : [−1, 1] → [mm] \IR, [/mm] x 7→ x + 1 für x ≤ 0,
−x + 1 für x ≥ 0 stetig auf ganz [−1, 1] ist. |
Hallo liebe Gemeinde!
Ich habe die Def von Stetigkeit:
stetigkeit von [mm] f:D->\IR [/mm] in [mm] x_0: [/mm]
[mm] \forall \varepsilon>0, \exists \delta>0 [/mm] : [mm] \forall [/mm] x aus D : [mm] |x-x0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon [/mm]
f ist stetig wenn f in jedem [mm] x_0 [/mm] stetig.
also für mich ist klar das die angegebene funktion stetig ist aber wie ich das jetzt anhand der def zeigen soll... da weis ich nicht so recht wie ich anfangen soll...
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:49 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Zeige direkt aus der Definition der Stetigkeit, dass
> (a) f : [−1, 1] → [mm]\IR,[/mm] x 7→ x + 1 für x ≤ 0,
> −x + 1 für x ≥ 0 stetig auf ganz [−1, 1] ist.
> Hallo liebe Gemeinde!
>
> Ich habe die Def von Stetigkeit:
>
> stetigkeit von [mm]f:D->\IR[/mm] in [mm]x_0:[/mm]
> [mm]\forall \varepsilon>0, \exists \delta>0[/mm] : [mm]\forall[/mm] x aus D :
> [mm]|x-x0|<\delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|<\varepsilon[/mm]
> f ist stetig wenn f in jedem [mm]x_0[/mm] stetig.
>
> also für mich ist klar das die angegebene funktion stetig
> ist aber wie ich das jetzt anhand der def zeigen soll... da
> weis ich nicht so recht wie ich anfangen soll...
Du wirst nicht um die 3 Fälle herumkommen.
Stetigkeit in [mm] x_0=0
[/mm]
Stetigkeit in [mm] x_0>0
[/mm]
Stetigkeit in [mm] x_0<0
[/mm]
FRED
>
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:39 Mo 11.06.2012 | | Autor: | elmanuel |
Danke Fred!
Habs jetzt bisschen anders gemacht:
bemerke f(x)= |-x|+1 = |x|+1
betrachte f(x) als summe von zwei funktionen
f(x)=g(x)+h(x)
g(x)=|x|
h(x)=1
zeige stetigkeit aus Definition
für g(x)=|x|
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0
Sei [mm] x_o \in \IR
[/mm]
Setze [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
dann gilt [mm] \forall |x-x_0|<\delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_0)|=||x|-|x_0|| \le |x-x_0| [/mm] (verk. Dreiecksungl.) [mm] <\delta [/mm] = [mm] \varepsilon
[/mm]
für h(x)=1
Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0
Sei [mm] x_o \in \IR
[/mm]
Es gilt [mm] \delta [/mm] > 0
dann gilt [mm] \forall |x-x_0|<\delta
[/mm]
[mm] |f(x)-f(x_0)|=0 <\epsilon
[/mm]
und da die (endliche) summe stetiger funktionen wieder stetig ist [mm] \Rightarrow [/mm] f(x) ist stetig
passt das auch so?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 16:46 Mo 11.06.2012 | | Autor: | fred97 |
> Danke Fred!
>
> Habs jetzt bisschen anders gemacht:
>
> bemerke f(x)= |-x|+1 = |x|+1
Ah , da war ich ja blind ! Aber ganz stimmts doch noch nicht, denn es ist
f(x)=-|x|+1
>
> betrachte f(x) als summe von zwei funktionen
> f(x)=g(x)+h(x)
> g(x)=|x|
> h(x)=1
>
> zeige stetigkeit aus Definition
>
> für g(x)=|x|
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0
> Sei [mm]x_o \in \IR[/mm]
> Setze [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
> dann gilt [mm]\forall |x-x_0|<\delta[/mm]
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=||x|-|x_0|| \le |x-x_0|[/mm] (verk. Dreiecksungl.)
> [mm]<\delta[/mm] = [mm]\varepsilon[/mm]
>
>
>
> für h(x)=1
>
> Sei [mm]\varepsilon[/mm] >0
> Sei [mm]x_o \in \IR[/mm]
> Es gilt [mm]\delta[/mm] > 0
>
> dann gilt [mm]\forall |x-x_0|<\delta[/mm]
>
> [mm]|f(x)-f(x_0)|=0 <\epsilon[/mm]
>
>
> und da die (endliche) summe stetiger funktionen wieder
> stetig ist [mm]\Rightarrow[/mm] f(x) ist stetig
>
>
> passt das auch so?
Ja, aber Du hättest das einfacher haben können:
Mit f(x)=-|x|+1
ist
[mm] |f(x)-f(x_0)|= ||x|-|x_0||
[/mm]
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:58 Di 12.06.2012 | | Autor: | elmanuel |
danke Fred!
hätte mir auch auffallen können :)
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