summierte Trapez&MittelpunktR < Integration < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:30 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Marcus87 |
| Aufgabe | Das Integral soll Näherungsweise mit der summierten Trapez und Mittelpunktsregel berechnet werden. Für N = 2 und N = 4
[mm] \int_{0}^{Pi/2} x*cos(x)\, [/mm] dx |
Änderung: blöder Fehler von mir obere Grenze ist Pi/2 danke Kai
Ich verwende die Formeln aus der Vorlesung
h = (b-a)/N ; T(h) = h*(0,5 f(a) + [mm] \sum_{j=1}^{N-1} f(x_j) [/mm] + 0,5* f(b))
Für N = 2
h = (Pi/2 - 0)/2 = Pi/4 ;
T(h) = Pi/4 *( 0,5 * 0*cos(0) + (Pi/4) *cos(Pi/4) + 0,5*(Pi/2)cos(Pi/2))
T(h) = 1,2334 was ja nicht stimmt exakt ist 0,57079
Für die Berechnung mit N = 4 habe ich das gleiche Probelm und komme auf
1,23345
Bei der Summierten Mittelpunktsregel habe ich die Formel
M(h) = [mm] h*\summe_{j = 0}^{N-1} [/mm] f [mm] *((x_j [/mm] + [mm] x_j_+_1)/2)
[/mm]
mit h = (b-a)/N
für N = 2 habe ich errechnet
h = Pi/4
M(h) = Pi/4 * (Pi/8 * cos(Pi/8) + 3Pi/8 * cos(3Pi/8)) = 1,2334
Das ist der gleiche Fehler wie bei der Trapezregel und ich sehe einfach nicht wo ich den Fehler mache.
Für jede Hilfe schonmal danke :D
und da dies meine erste Frage ist
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:30 Sa 23.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcus,
> T(h) = Pi/4 *( 0,5 * 0*cos(0) + (Pi/4) *cos(Pi/4) +
> 0,5*(Pi/2)cos(Pi/2))
Das [mm] $\frac{\pi}{2}$ [/mm] ist schon mal falsch. Die obere
Integrationsgrenze ist [mm] $\pi$.
[/mm]
Ansonsten lautet die Trapezregel in diesem Fall :
[mm] $T(N)=\frac{\pi}{N}(0.5\cdot0\cdot\cos(0)+\summe_{j=1}^{N-1}f(\frac{j\cdot\pi}{N})+0.5\cdot\pi\cdot\cos(\pi))$
[/mm]
wobei [mm] $f:=x\mapsto x\cos(x)$
[/mm]
So, und jetzt setzt Du N = 2 bzw. 4 in die Formel
ein und erhältst die Näherungen (solltest Du
jedenfalls).
Nur zur Kontrolle :
Die Näherung für $N = 2 [mm] \approx [/mm] -2.4674$.
Die Näherung für $N = 4 [mm] \approx [/mm] -2.10606$.
Gruß
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 21:58 Sa 23.02.2013 | | Autor: | Marcus87 |
Es tut mir leid Kai ich habe einen dummen Fehler gemacht die odere Grenze ist Pi/2 ich hatte mich in meiner Frage vertippt.
Damit komme ich nun leider wieder auf das Ergebnis 1,2334
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(Antwort) fertig | | Datum: | 23:46 Sa 23.02.2013 | | Autor: | kaju35 |
Hallo Marcus,
genau wie Du komme ich auf [mm] $T(2)=\frac{\pi}{4}*\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{4})$
[/mm]
Wie kommst Du auf die 1.2334? Womit rechnest Du das aus?
Ich bekomme da [mm] \approx [/mm] 0.43618 raus.
Bei N = 4 unterschlägst Du den zweiten Summanden.
Es muss heißen :
[mm] $\frac{\pi}{8}\cdot\left(\frac{\pi}{8}\cdot \cos(\frac{\pi}{8})+\frac{\pi}{4}\cdot \cos(\frac{\pi}{4})+\frac{3\cdot\pi}{8}\cdot \cos(\frac{3\cdot \pi}{8})\right)$
[/mm]
Und das Ergebnis lautet somit [mm] \approx [/mm] 0.53761
LG und Gute Nacht
Kai
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 10:36 So 24.02.2013 | | Autor: | Marcus87 |
Also deine Ergebnisse stimmen schonmal.
In meinem Skribt steht als Formel
[mm] =h*(\frac{\11}{2}\cdot{}f(a) [/mm] + [mm] \summe_{j = 1}^{N-1} f(x_j) [/mm] + [mm] \frac{\11}{2}\cdot{}f(b))
[/mm]
ich rechne [mm] \summe_{j = 1}^{N-1} f(x_j) [/mm] für N=2 gibt [mm] \summe_{j = 1}^{2-1} f(x_j) [/mm] da ich mein Intervall in zwei Teile teile muss ich hier noch [mm] \frac{\pi}{4} [/mm] in xcos(x) einsetzen
womit meine Gleichung dann so aussieht
$ [mm] T(2)=\frac{\pi}{4}( \frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}) [/mm] + [mm] \cdot{}\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{2})) [/mm] $ = 0,436179 ahhh nun hab ichs das stimmt so.
Und für N = 4 komme ich jetzt auch auf das richtige Ergebnis
[mm] \frac{\pi}{8} \*(\frac{\pi}{8} [/mm] * [mm] cos(\frac{\pi}{8}) [/mm] + [mm] \frac{2\pi}{8}*cos(\frac{2\pi}{8})+\frac{3\pi}{8}*cos(\frac{3\pi}{8})+\frac{\pi}{4}*cos(\frac{\pi}{2})) [/mm] = 0,537607
Ich habe meinen Fehler gefunden und das ist ja schon peinlich. Ich habe gestern Abend statt
$ [mm] T(2)=\frac{\pi}{4}( \frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}) [/mm] + [mm] \cdot{}\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{2})) [/mm] $
das hier gerechnet
$ [mm] T(2)=\frac{\pi}{4}( \frac{\pi}{4}cos(\frac{\pi}{4}) [/mm] + [mm] \cdot{}\frac{\pi}{4}\cdot cos(\frac{\pi}{4})) [/mm] $ man beachte hier den letzten Summanden
Ich schreibe am Montag eine Prüfung und lerne die letzten Tage sehr viel, da muss ich gestern Abend wohl einfach nicht mehr durchgesehen haben.
Danke das du dir die Zeit genommen hast Kai.
Mit freundlichen Grüßen,
Marcus
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