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| Aufgabe | [mm] (\Omega,P) [/mm] ist diskreter wahrscheinlichkeitsraum und [mm] A_1,A_2,...,A_n\subset \Omega [/mm] unabhängige Ereignisse.
Zeige:
[mm] P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)= 1-\produkt_{i=1}^{n}(1-P(A_i)) [/mm] |
Wie kann ich das zeigen?
ich dachte erst es handelt sich hierbei um die stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse, aber das passt ja auch nicht...
Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
Mathegirl
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:14 Mo 28.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> [mm](\Omega,P)[/mm] ist diskreter wahrscheinlichkeitsraum und
> [mm]A_1,A_2,...,A_n\subset \Omega[/mm] unabhängige Ereignisse.
> Zeige:
>
> [mm]P(\bigcup_{i=1}^{n}A_i)= 1-\produkt_{i=1}^{n}(1-P(A_i))[/mm]
>
> Wie kann ich das zeigen?
>
> ich dachte erst es handelt sich hierbei um die
> stochastische Unabhängigkeit mehrerer Ereignisse, aber das
> passt ja auch nicht...
Wieso passt das nicht ?
Es gilt: [mm] P(\bigcap_{i=1}^{n}A_i)= \produkt_{i=1}^{n}P(A_i)
[/mm]
FRED
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> Über Tipps wäre ich sehr dankbar!
>
> Mathegirl
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genau, die "Formel" meine ich. Ich weiß aber nicht so recht wie ich das zeigen soll.
[mm] P(A_1\cup...\cup A_n)
[/mm]
[mm] =1-P(\overline{A_1\cup...\cup A_n})
[/mm]
[mm] =1-P(\overline{A_1}\cap...\cap \overline{A_n})
[/mm]
[mm] =1-P(1-P(A_1))*...*(1-P(A_n))
[/mm]
Ich habe leider keine Ahnung wie man das richtig zeigt. Das ist meine einzige Idee dazu.
Mathegirl
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:31 Mi 30.11.2011 | | Autor: | luis52 |
Moin,
ich *vermute*, du meinst die Gleichung
[mm] $P(\overline{A_1}\cap...\cap \overline{A_n}) =P(\overline{A_1})\cdot\ldots\cdot P(\overline{A_n}) [/mm] $.
Es gilt die folgende Aussage:
Sind [mm] $A_1,\dots,A_n$ [/mm] unabhaengig, so auch die Ereignisse [mm] $B_1,\dots,B_n$, [/mm] die entstehen, wenn man $k_$ der Ereignisse [mm] $A_1,\dots,A_n$ [/mm] durch ihr Komplement ersetzt, [mm] $k=1,\dots,n$.
[/mm]
Das ist nicht schwer zu zeigen ...
vg Luis
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