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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:37 Mi 27.06.2007 | | Autor: | Sams |
| Aufgabe | Beispiel: [mm] \integral {x*e^{-x^2} dx} [/mm] = [mm] -\bruch{1}{2} \integral [/mm] -2*x* [mm] e^{-x^2} [/mm] dx. Wir setzen z= g(x) = [mm] -x^2, [/mm] dann ist dz=-2*x*dx.
[mm] \integral x*e^-x^2 [/mm] dx = [mm] -1/2\integral [/mm] -2 *x [mm] *e^-x^2 [/mm] dx = [mm] -1/2\integral e^z [/mm] dz = -1/2 * [mm] [e^z [/mm] +c] = -1/2 * [mm] e^-x^2 [/mm] + c |
Halli Hallo,
ich hätte da mal ne Frage: :)
Wie kommt man auf die -1/2?
Die innere Funktion kann ich auch nicht sehen, geschweige denn die äußere. :'-(
Ich sehe ein Produkt aus x und e...
Meine Frage genau ist: wie komme ich genau auf das Ergebnis, also wenn möglich mit Zwischenschritten... 
Wenn ich z= [mm] -x^2 [/mm] setze, habe ich mit z'=-2x, dann wäre für mich
[mm] f(z)=x*e^z. [/mm]
ich hätte noch anzubieten: [mm] z'=-2x=\bruch{dz}{dx}
[/mm]
dx [mm] =\bruch{dz}{-2x}
[/mm]
Ach ich weiß nicht, ich hab jetzt schon Stunden rumgerechnet ... pleeeease help! :-[
Vielen lieben Dank schon mal!
Grüßlis, Esther
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hallo Esther,
du bist ja schon gaaaanz nah dran,
mit der Substitution [mm] \red{z}:=-x^2 [/mm] hast du richtig erkannt, dass [mm] dx=\red{\frac{dz}{-2x}} [/mm] ist
Das ins Integral eingesetzt:
[mm] \int{xe^{-x^2}dx}=\int{xe^{\red{z}}\red{\frac{dz}{-2x}}}
[/mm]
Hier die x gegeneinander kürzen:
[mm] ...=\int{\frac{e^z}{-2}dz}=\int{-\frac{1}{2}e^zdz}
[/mm]
Hier die multiplikative Konstante [mm] -\frac{1}{2} [/mm] vors Integral ziehen:
[mm] ...=-\frac{1}{2}\int{e^zdz}
[/mm]
Ein etwas "sauberer" Weg - um zu vermeiden, dass beide Variablen x und z im substituierten Integral auftauchen wie oben (was hier nicht so schlimm ist, da sie sich direkt wegkürzen - ist, zunächst weiter umzuformen:
[mm] z:=-x^2\Rightarrow x=-\sqrt{z}\Rightarrow \frac{dx}{dz}=-\frac{1}{2\sqrt{z}}\Rightarrow dx=-\frac{dz}{2\sqrt{z}}
[/mm]
Das dann einsetzen:
[mm] \int{xe^{-x^2}dx}=\int{-\sqrt{z}e^z\frac{dz}{2\sqrt{z}}}
[/mm]
Wieder alles kürzen und [mm] -\frac{1}{2} [/mm] rausziehen:
[mm] ...=-\frac{1}{2}\int{e^zdz}
[/mm]
Kommt also auf's selbe u lösende Integral raus
Das Integral ist ja dann einfach zu berechnen:
[mm] ..=-\frac{1}{2}e^z
[/mm]
resubstituieren:
[mm] ...=-\frac{1}{2}e^{-x^2}
[/mm]
LG
schachuzipus
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 28.06.2007 | | Autor: | Sams |
Hey Klasse!
1000 Dank!
LG, Esther
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