uneigentliches Integral < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:37 Sa 07.05.2011 | | Autor: | zoj |
| Aufgabe | Berechnen Sie den uneigentlichen Integral bzw. dessen Cauchy-Hauptwert.
[mm] \integral_{0}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx} [/mm] |
Könnt Ihr mal schauen, ob ich richtig gerechnet habe?
An einer Stelle komme ich nicht weiter.
Bei x=1 wird der Bruch Null.
Deswegen zerlege ich das Integral in zwei Teile:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}+\integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}
[/mm]
Zuerst beschäftige ich mich mit dem Integral:
[mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow\1}\integral_{0}^{t}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}
[/mm]
Substitution: x = siny => dx = cosy dy
untere Grenze: y=arcsin(t)
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 1}\integral_{0}^{arcsin(t)}{\bruch{cosy dy}{cosy}}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow\ 1}\integral_{0}^{arcsin(t)}{1dy}
[/mm]
[mm] =\integral_{0}^{\bruch{\pi}{2}}{1dy} [/mm] = [mm] |y|^{\bruch{\pi}{2}}_{0}=\bruch{\pi}{2}
[/mm]
Nun zum zweiten Teil der Lösung:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}
[/mm]
[mm] \limes_{t\rightarrow\1}\integral_{t}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}
[/mm]
Wieder Substitution
x = siny => dx = cosy dy
untere Grenze: y = arcsin(t)
obere Grenze: y = arcsin(2)
Nun habe ich aber ein Problem, denn der Arcussinus existiert nur von -1 bis 1. Meine obere Grenze: y = arcsin(2) existiert demnach nicht.
D.h. ich habe meine Substitutionsvariable falsch gewählt.
Aber welche soll denn nehmen?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:57 Sa 07.05.2011 | | Autor: | leduart |
hallo
du hast den Betrag nicht berücksichtigt. für x>1 ist [mm] 1-x^2<1 [/mm] deshalb [mm] |1-x^2|=x^2-1 [/mm] für x>1
gruss leduart
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:52 Sa 07.05.2011 | | Autor: | zoj |
Stimmt! Den Betrag habe ich echt nicht berücksichtigt.
Zum Glück ist aber der der erste Intergral von Betrag her richtig aufgestellt wurden.
Der zerlegte Integral lautet demnach:
$ [mm] \integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}+\integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x^{2}-1|}} dx} [/mm] $
Ich gehe mal davon aus, dass der erste Teil von mir richtig berechnet wurden ist.
Nun zu dem zweiten Integral:
[mm] \integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x^{2}-1|}} dx} [/mm] = [mm] \limes_{t\rightarrow 1}\integral_{t}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x^{2}-1|}} dx}
[/mm]
Nun muss ich wieder substituieren.
u = [mm] x^{2}+1 [/mm] => dx = [mm] \bruch{du}{2x}
[/mm]
obere Grenze: u = [mm] 2^{2}-1=3
[/mm]
untere Grenze: u= [mm] 1^{2}-1=0
[/mm]
Eingesetzt ergibt das:
[mm] \limes_{t\rightarrow 1}\integral_{0}^{3}{\bruch{du}{\wurzel{u}2x}}
[/mm]
Das x lässt sich nicht wegkürzen. Was macht man da?
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Hallo zoj,
> Stimmt! Den Betrag habe ich echt nicht berücksichtigt.
>
> Zum Glück ist aber der der erste Intergral von Betrag her
> richtig aufgestellt wurden.
> Der zerlegte Integral lautet demnach:
> [mm]\integral_{0}^{1}{\bruch{dx}{\wurzel{|1-x^{2}|}} dx}+\integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x^{2}-1|}} dx}[/mm]
>
> Ich gehe mal davon aus, dass der erste Teil von mir richtig
> berechnet wurden ist.
> Nun zu dem zweiten Integral:
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x^{2}-1|}} dx}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 1}\integral_{t}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{|x^{2}-1|}} dx}[/mm]
>
> Nun muss ich wieder substituieren.
> u = [mm]x^{2}+1[/mm] => dx = [mm]\bruch{du}{2x}[/mm]
> obere Grenze: u = [mm]2^{2}-1=3[/mm]
> untere Grenze: u= [mm]1^{2}-1=0[/mm]
>
> Eingesetzt ergibt das:
> [mm]\limes_{t\rightarrow 1}\integral_{0}^{3}{\bruch{du}{\wurzel{u}2x}}[/mm]
>
> Das x lässt sich nicht wegkürzen. Was macht man da?
Eine andere Substition wählen, z.B. [mm]x=\cosh\left(u\right)[/mm]
Gruss
MathePower
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:32 Sa 07.05.2011 | | Autor: | zoj |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Nochmal der zweite Teil
$ \integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{1-x^{2}}} dx} $
$ \limes_{t\rightarrow 1}\integral_{t}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{1-x^{2}}} dx} $
x= cosh(u) => dx = sinh(u)*du
$ \limes_{t\rightarrow 1}\integral_{u(t)}^{u(2)}{\bruch{sunh(u)du}{sinh(u)} $ =$ \limes_{t\rightarrow 1}\integral_{u(t)}^{u(2)}{1du} $ = \limes_{t\rightarrow 1}|u|^{arccosh(t)}_{arccosh(2)} = (0 - arcsosh(2)) \approx 1.4
Stimmt das?
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Hallo zoj,
> Nochmal der zweite Teil
> [mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
Das Integral muss doch hier so lauten:
[mm]\integral_{1}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{\blue{x^{2}-1}}} dx}[/mm]
Dann kannst Du auch die genannte Substitution anwenden.
>
> [mm]\limes_{t\rightarrow 1}\integral_{t}^{2}{\bruch{dx}{\wurzel{1-x^{2}}} dx}[/mm]
>
> x= cosh(u) => dx = sinh(u)*du
> [mm]\limes_{t\rightarrow 1}\integral_{u(t)}^{u(2)}{\bruch{sunh(u)du}{sinh(u)}[/mm]
> =[mm] \limes_{t\rightarrow 1}\integral_{u(t)}^{u(2)}{1du}[/mm] =
> [mm]\limes_{t\rightarrow 1}|u|^{arccosh(t)}_{arccosh(2)}[/mm] = (0 -
> arcsosh(2)) [mm]\approx[/mm] 1.4
Ich hab hier einen anderen Wert: [mm]\operatorname{arcosh}\left(2\right) \approx 1.317[/mm]
>
> Stimmt das?
>
Gruss
MathePower
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:51 Sa 07.05.2011 | | Autor: | zoj |
Habe das falsche Integral reinkopiert.
Auf dem Papier habe ich den richtigen stehen. Bin beim nächsten Mal ein wenig aufmerksammer.
Was den Wert angeht, so habe ich ihn bei Wolfram-Alpha abgelesen.
Berechnen konnte ich diesen nicht.
Jetzt muss ich noch die beiden Ergebnisse zusammen fassen.
Dan wäre ich fertig.
Vielen Dank für die Unterstützung!
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