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gibt es eine universelle eigenschaft fuer das tensorprodukt von koerpern?
ich weiss ,dass es eine fuer tensorprodukt von moduln,r-algebren und vektorrauemen gibt.ich wollte damit die isomorphie von zwei koerpern zeigen
[mm] \overline{K} \otimes [/mm] L [mm] \cong \overline{K}^{n}
[/mm]
(meine these ist,dass ich das mit der universellen eigenschaft zeigen kann:
folgende abbildungen existieren wegen bilinearitaet:
[mm] \overline{K} \times [/mm] L [mm] \to \overline{K}^{n}
[/mm]
[mm] \overline{K} \times [/mm] L [mm] \to \overline{K} \otimes [/mm] L
dann gibt es auch genau eine bilineare abbildung
[mm] \overline{K} \otimes L\to \overline{K}^{n}
[/mm]
und damit haette ich die isomorphie gezeigt.
ist das richtig?(in der vorlesung haben wir gerade diese univ. eigenschaft nicht definiert,wir haben diese aufgabe damals auch mit ganz anderen mitteln geloest,deswegen frage ich).
ps:in der aufgabe war explizit gesagt,dass das ein isomorphismus von [mm] \overline{K} [/mm] -algebren sein soll .ich weiss jetzt nicht wie ich hantieren darf
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:50 Di 02.02.2010 | | Autor: | SEcki |
> gibt es eine universelle eigenschaft fuer das tensorprodukt
> von koerpern?
Was meinst du damit? Das Tensorprodukt muss man fixieren - das Tensorprodukt ist abhängig, über welchen Ring der Modul, welchem Körper der Vektorraum, welchen Ring die Algebra definiiert sind. [m]\IC\otimes_\IQ \IC \neq \IC\otimes_\IC \IC = \IC[/m], hier mal Tensorprodukte über Körper.
> ich weiss ,dass es eine fuer tensorprodukt von
> moduln,r-algebren und vektorrauemen gibt.ich wollte damit
> die isomorphie von zwei koerpern zeigen
Könntest du das etwas mehr ausführen? Du kannst ja zB K, L über einem Körper P haben, und das Tensorprodukt über diesem Körper P betrachten.
> [mm]\overline{K} \otimes[/mm] L [mm]\cong \overline{K}^{n}[/mm]
>
> (meine these ist,dass ich das mit der universellen
> eigenschaft zeigen kann:
> folgende abbildungen existieren wegen bilinearitaet:
> [mm]\overline{K} \times[/mm] L [mm]\to \overline{K}^{n}[/mm]
> [mm]\overline{K} \times[/mm]
> L [mm]\to \overline{K} \otimes[/mm] L
> dann gibt es auch genau eine bilineare abbildung
> [mm]\overline{K} \otimes L\to \overline{K}^{n}[/mm]
Kannst du das etwas weiter ausführen? Es könnte sein, dass das so geht; ich seh das nicht. Im allgemeinen hat der Körper ja noch die Multiplikation, dh wenn zwei Körper als Tensorprodkt über einem anderen gleich sind, überzeugt es mich noch nicht dass sie als Körper isomorph sind.
> und damit
> haette ich die isomorphie gezeigt.
> ist das richtig?(in der vorlesung haben wir gerade diese
> univ. eigenschaft nicht definiert,wir haben diese aufgabe
> damals auch mit ganz anderen mitteln geloest,deswegen frage
> ich).
Vielleicht gib mal die ganze Aufgabe und deine komplette Lösung an.
> ps:in der aufgabe war explizit gesagt,dass das ein
> isomorphismus von [mm]\overline{K}[/mm] -algebren sein soll .ich
> weiss jetzt nicht wie ich hantieren darf
hm? Also, wenn K, L Körper über P sind und es einen P-Algebreniso gibt mit [m]K\cong L[/m] als P Algebren, dann sind die Körper isomorph.
SEcki
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