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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:30 Di 17.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
| Aufgabe | Beweisen Sie mit vollst. Ind. :
Seien x,y [mm] \in \IR [/mm] und n [mm] \in \IN [/mm] beliebig, dann gilt:
[mm] (x+y)^{n} [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n-m}y^{m} [/mm] |
meine bisherige Lösung:
IA: n=0 [mm] \Rightarrow (x+y)^{0} [/mm] = 1; [mm] \summe_{m=0}^{0}\vektor{0 \\ m} x^{0-m}y^{m} [/mm] = [mm] x^{0}y^{0} [/mm] = 1 [mm] \Rightarrow [/mm] Aussage wahr
IB: n [mm] \to [/mm] n + 1: [mm] (x+y)^{n+1} [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ m} x^{n+1-m}y^{m}
[/mm]
IS: [mm] (x+y)^{n}(x+y) [/mm] = [mm] (\summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n-m}y^{m})(x+y) [/mm] = [mm] \summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n+1-m}y^{m} [/mm] + [mm] \summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n-m}y^{m+1}
[/mm]
Bis dahin müsste es stimmen, so steht es zumindest auch im Forster. Aber nun weiß ich leider nicht wie es weiter gehen soll. Wenn mir jemand von euch Ratschläge geben könnte wäre ich sehr erfreut darüber.
MfG
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> Beweisen Sie mit vollst. Ind. :
> Seien x,y [mm]\in \IR[/mm] und n [mm]\in \IN[/mm] beliebig, dann gilt:
> [mm](x+y)^{n}[/mm] = [mm]\summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n-m}y^{m}[/mm]
>
> meine bisherige Lösung:
> IA: n=0 [mm]\Rightarrow (x+y)^{0}[/mm] = 1;
> [mm]\summe_{m=0}^{0}\vektor{0 \\ m} x^{0-m}y^{m}[/mm] = [mm]x^{0}y^{0}[/mm] =
> 1 [mm]\Rightarrow[/mm] Aussage wahr.
Hallo,
im Induktionsschluß ist unter der Voraussetzung, daß die Behauptung für alle n gilt, zu zeigen:
> [mm](x+y)^{n+1}[/mm] =
> [mm]\summe_{m=0}^{n+1}\vektor{n+1 \\ m} x^{n+1-m}y^{m}[/mm]
Es ist
> [mm](x+y)^{n}(x+y)[/mm] = [mm](\summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n-m}y^{m})(x+y)[/mm]
> = [mm]\summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n+1-m}y^{m}[/mm] +
> [mm]\summe_{m=0}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n-m}y^{m+1}[/mm]
Hier mußt Du jetzt ein bißchen mit den Summationsindizes spielen, und später das Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten verwenden.
[mm] ...=\vektor{n \\ 0}x^{n+1-0}y^{0}+\summe_{m=1}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n+1-m}y^{m} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n}x^{n-n}y^{n+1}+\summe_{m=0}^{n-1}\vektor{n \\ m}x^{n-m}y^{m+1}
[/mm]
= [mm] \vektor{n \\ 0}x^{n+1-0}y^{0}+\summe_{m=1}^{n}\vektor{n \\ m}x^{n+1-m}y^{m} [/mm] + [mm] \vektor{n \\ n}x^{n-n}y^{n+1}+\summe_{m=1}^{n}... [/mm] (indexverschiebung)
Dann fasse die Summen zusammen. verwende das Additionstheorem.
Danach noch ein bißchen Kosmetik, dann bist Du fertig.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 00:30 Mi 18.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
Sorry für die dumme Frage aber was ist das Additionstheorem für die Binomialkoeffizienten und wie wende ich es hier an ?
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Huhu,
guckst du am besten ![[]](/images/popup.gif) hier
MfG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:13 Mi 18.07.2007 | | Autor: | fisch000 |
Danke für den Link, hätte eigentlich selber draufkommen können. Werde mir mal das Ganze in Ruhe anschauen und versuchen zu verstehen.
MfG
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