vollständige Induktion < Induktion < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:31 Fr 21.09.2007 | | Autor: | paulek |
| Aufgabe | | [mm] \summe_{i=1}^{n}k^2 [/mm] = [mm] \bruch{1}{6}n [/mm] (n+1)(2n+1) |
Hallo liebe Lesenden,
Ich bin im ersten Semster einer FH und studiere Informatik, nach längerer Schulpause, fühle ich mich mit Analysis etwas überfordert und nach längerem e-Learning und vielen weiteren Internetseiten verstehe ich es nicht dies zu "beweisen". Ich würde mich über einen allgemeinen/gezielten Rechenweg sehr freuen da ich ziemlich verzweifelt bin. Danke
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:40 Fr 21.09.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo Paulek und ![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
Schua dir dazu mal diese Antwort an, da ist eine Lösung zu der Frage.
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Fr 21.09.2007 | | Autor: | paulek |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n}k³ [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] \bruch{1}{4} [/mm] * ( [mm] n+1)^2 [/mm] * [mm] (n+2)^2
[/mm]
[mm] \summe_{i=1}^{n}k³ [/mm] + [mm] (n+1)^3 [/mm] = [mm] \bruch{(n^4+6n^3+13n^2+12n+4)}{4} [/mm] |
Soweit bin ich nun, hab ich etwas falsch gemacht?
Verstehe den weitern Teil nun nicht mehr ganz, wie verfahre ich in etwa weiter, bitte um HILFE! :)
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also der ansatz stimmt schon
1.auf der linken seite hast du dann [mm] geschrieben(k^3+(n+1)^3) [/mm] das ist auch o.k.
2.dann musst du noch auf der rechten alle normalen n´s durch n+1 ersetzen und soweit wie möglich vereinfachen.
3. dann nimmst du die rechte ausgangsform und addierst die [mm] (n+1)^3 [/mm] dazu , also die wo du die n´s nicht ersetzt hast, wenn du nun die gleichung wieder vereinfachst solltes du auf die gleiche vereinfachte gleichung wie unter 2. beschrieben kommen und fertig bist verstanden oder ist noch was unklar
wenn noch fragen frag ruhig
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Hallo paulek,
> [mm]\summe_{i=1}^{n}k^2[/mm] = [mm]\bruch{1}{6}n[/mm] (n+1)(2n+1)
> Hallo liebe Lesenden,
>
> Ich bin im ersten Semster einer FH und studiere Informatik,
> nach längerer Schulpause, fühle ich mich mit Analysis etwas
> überfordert und nach längerem e-Learning und vielen
> weiteren Internetseiten verstehe ich es nicht dies zu
> "beweisen".
Das Prinzip der vollständigen Induktion ist
(1) Zeige, daß die Gleichung für [mm]n=1\![/mm] gilt. (Hier kann man eigentlich sogar bei 0 ansetzen).
(2) Falls (1) gilt, nimm an, daß die zu beweisende Behauptung gültig ist.
(3) Falls (2) tatsächlich gilt, so gilt (2) auch für [mm]n+1\![/mm]. Da ein Gleichheitszeichen sowohl von links nach rechts als auch von rechts nach links gilt, kannst du z.B. [mm]n+1\![/mm] in den rechten Term einsetzen und den Linken herleiten oder umgekehrt. Das Herleiten funktioniert, indem du deine Voraussetzung aus (2) an einer geeigneten Stelle in der Rechnung einsetzt . Also z.B.:
[mm]\sum_{i=1}^{n+1}{k^2}=(n+1)^2+\sum_{i=1}^n{k^2}=(n+1)^2+\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\dotsm[/mm]
und jetzt formst du solange um bis du [mm]\tfrac{(n+1)(n+1+1)(2(n+1)+1)}{6}[/mm] erhälst.
Viele Grüße
Karl
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:34 Fr 21.09.2007 | | Autor: | paulek |
| Aufgabe | | [mm] \bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6} [/mm] |
Soweit bin ich nun, ist das jetzt alles?
Was hab ich damit bewiesen?
Danke für die Hilfen, bin überaus dankbar.
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> [mm]\bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}[/mm]
> Soweit bin ich nun, ist das jetzt alles?
> Was hab ich damit bewiesen?
Hallo,
Du hast bis jetzt also
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}k^2 [/mm] = [mm] \bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}.
[/mm]
Nun mußt Du das Ziel scharf ins Auge fassen. Du möchtest ja herausbekommen [mm] ...=\bruch{1}{6}(n+1)((n+1)+1)(2(n+1)+1)=\bruch{1}{6}(n+1)(n+2)(2n+3).
[/mm]
Also würde ich oben zunächst einmal (n+1) ausklammern. Daß das möglich ist, siehst Du daran, daß der Zähler bei -1 eine Nullstelle hat.
Dann hast Du ...= [mm] \bruch{2n^3+9n^2+13n+6}{6}= \bruch{(n+1)(...)}{6}.
[/mm]
Wenn Du richtig gerechnet hast, kannst Du aus der verbleibenden Klammer jetzt (n+2) ausklammern und bist fertig.
Du darfst bei Induktionen nie das Ziel vergessen.
Gruß v. Angela
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:53 Fr 21.09.2007 | | Autor: | paulek |
| Aufgabe | [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = 1 - [mm] \bruch{1}{n+1}
[/mm]
->
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)} [/mm] = [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] + (n+1)^? |
Wenn der Anfang nun so aussieht, welche Potenz habe ich dann hinterher bei der Induktionsannahme? Siehe "Fragezeichen"
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> [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = 1 - [mm]\bruch{1}{n+1}[/mm]
>
> ->
>
> [mm]\summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}[/mm] = [mm]\summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}[/mm]
> + (n+1)^?
> Wenn der Anfang nun so aussieht, welche Potenz habe ich
> dann hinterher bei der Induktionsannahme? Siehe
> "Fragezeichen"
Hallo,
Deine Frage finde ich ziemlich unverständlich, aber ich widme mich mal beherzt dem Fragezeichen.
Du scheinst beim Induktionsschluß zu sein.
Es ist
[mm] \summe_{i=1}^{n+1}\bruch{1}{k(k+1)}
[/mm]
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}+ [/mm] (hier mußt Du nun in dem Term [mm] \bruch{1}{k(k+1)} [/mm] das k durch n+1 ersetzen)
= [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}+ \bruch{1}{(n+1)((n+1)+1)} [/mm] == [mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{1}{k(k+1)}+ \bruch{1}{(n+1)((n+2)}.
[/mm]
Ich hoffe, daß das die Frage war.
Gruß v. Angela
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