waagerechte Tangente < Differenzialrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:15 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
| Aufgabe | An welcher Stelle x [mm] $\subset$ [/mm] IR hat der Graph der Funktion f eine waagerechte Tangente?
a) [mm] $f(x)=\bruch{\wurzel{x}}{x²+4}$ [/mm] (x>0)
b) [mm] $f(x)=\wurzel{x³-1}$ [/mm] (x>1) |
Hallo Zusammen,
um die waagerechte Tangente zu erhalten, muss man die erste Ableitung bilden. Wenn diese gleich Null ist, hat die Funktion an der betreffenden Stelle weder eine Steigung >0 noch ein Gefälle <0, somit eine waagerechte Tangengte.
a)
[mm] $f(x)=\bruch{\wurzel{x}}{x²+4}$ [/mm] (x>0)
[mm] u=\wurzel{x}, u'=\bruch{1}{2\wurzel{x}}
[/mm]
v=x²+4, v'=2x, v²=(x²+4)²
[mm] f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} x²+4 - \wurzel{x} \cdot{} 2x}{(x²+4)²} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x²+4}{2\wurzel{x}} - \red ? }{(x²+4)²}
[/mm]
was ist denn [mm] \wurzel{x} \cdot{} [/mm] 2x = ?
b)
[mm] $f(x)=\wurzel{x³-1} [/mm] (x>1)$ (x>1)
[mm] f(y)=\wurzel{y}, f'(y)=\bruch{1}{2\wurzel{y}}
[/mm]
g(x)=x³-1, g'(x)=3x²
verketten:
f'(x) = f'(g(x)) [mm] \cdot{} [/mm] g'(x) = f'(x³-1) [mm] \cdot{} [/mm] 3x² = [mm] \bruch{1}{2\wurzel{x³-1}} \cdot{} [/mm] 3x² = [mm] \bruch{3x²}{2\wurzel{x³-1}}
[/mm]
f'(x) = 0
[mm] \bruch{3x²}{2\wurzel{x³-1}} [/mm] = 0 | [mm] \cdot{} (2\wurzel{x³-1})
[/mm]
3x² = 0 -> x=0
Die Funktion [mm] $f(x)=\wurzel{x³-1}$ [/mm] hat bei x=0 eine waagerechte Tangente. Stimmt dies so? Vielen Dank!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 12:20 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Du kannst [mm] $\wurzel{x}*2x$ [/mm] mit den  Potenzgesetzen zusammenfassen:
[mm] $$\wurzel{x}*2x [/mm] \ = \ [mm] x^{\bruch{1}{2}}*2*x^1 [/mm] \ = \ [mm] 2*x^{\bruch{1}{2}+1} [/mm] \ = \ [mm] 2*x^{\bruch{3}{2}} [/mm] \ = \ [mm] 2*\wurzel{x^3}$$
[/mm]
Aber das benötigst Du hier gar nicht, da ich den Bruch der Ableitung nun gleich mit [mm] $\wurzel{x}$ [/mm] erweitern würde ...
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:56 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
> Du kannst [mm]\wurzel{x}*2x[/mm] mit den Potenzgesetzen
> zusammenfassen:
> [mm]\wurzel{x}*2x \ = \ x^{\bruch{1}{2}}*2*x^1 \ = \ 2*x^{\bruch{1}{2}+1} \ = \ 2*x^{\bruch{3}{2}} \ = \ 2*\wurzel{x^3}[/mm]
>
> Aber das benötigst Du hier gar nicht, da ich den Bruch der
> Ableitung nun gleich mit [mm]\wurzel{x}[/mm] erweitern würde ...
ich hätte jetzt so weitergerechnet:
$ [mm] f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} x²+4 - \wurzel{x} \cdot{} 2x}{(x²+4)²} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x²+4}{2\wurzel{x}} - 2\wurzel{x³} }{(x²+4)²} [/mm] = [mm] \bruch{\bruch{x2+4-2x\wurzel{x³} \cdot{} 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}}}{(x²+4)²} [/mm] = [mm] \bruch{x²+4-2x\wurzel{x³} \cdot{} 2\wurzel{x}}{(x²+4)² \cdot{} 2\wurzel{x}}$
[/mm]
wahrscheinlich ist es übersichtlicher die Ableitung mit [mm]\wurzel{x}[/mm] zu erweitern, wie mache ich denn das?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 15:31 Sa 03.11.2007 | | Autor: | M.Rex |
Hallo.
Du hast ja korrekterweise:
$ [mm] f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} x²+4 - \wurzel{x} \cdot{} 2x}{(x²+4)²} [/mm] $
Nehmen wir mal nur den Zähler:
[mm] \bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} [/mm] x²+4 - [mm] \wurzel{x} \cdot{} [/mm] 2x
[mm] =\bruch{x²+4}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}*2x
[/mm]
Wenn ich den ersten Teil jetzt mit [mm] \wurzel{x} [/mm] erweitere, gibt sich:
[mm] \bruch{(x²+4)\red{\wurzel{x}}}{2\wurzel{x}\red{\wurzel{x}}}-2x*\wurzel{x}
[/mm]
Und jetzt kannst du im Nenner zusammenfassen zu 2x und den hinteren Term mit eben diesen 2x erweitern um den Hauptnenner zu bekommen.
Also:
[mm] \bruch{(x²+4)\wurzel{x}}{2x}-\bruch{4x²\wurzel{x}}{2x}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x²+4)\wurzel{x}-4x²\wurzel{x}}{2x}
[/mm]
[mm] =\bruch{(x²-4x²+4)\wurzel{x}}{2x}
[/mm]
=...
Marius
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:49 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
Hallo Zusammen,
> Du hast ja korrekterweise:
>
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} x²+4 - \wurzel{x} \cdot{} 2x}{(x²+4)²}[/mm]
>
> Nehmen wir mal nur den Zähler:
>
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{}[/mm] x²+4 - [mm]\wurzel{x} \cdot{}[/mm]
> 2x
> [mm]=\bruch{x²+4}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}*2x[/mm]
> Wenn ich den ersten Teil jetzt mit [mm]\wurzel{x}[/mm] erweitere,
> gibt sich:
>
> [mm]\bruch{(x²+4)\red{\wurzel{x}}}{2\wurzel{x}\red{\wurzel{x}}}-2x*\wurzel{x}[/mm]
> Und jetzt kannst du im Nenner zusammenfassen zu 2x und den
> hinteren Term mit eben diesen 2x erweitern um den
> Hauptnenner zu bekommen.
>
> Also:
> [mm]\bruch{(x²+4)\wurzel{x}}{2x}-\bruch{4x²\wurzel{x}}{2x}[/mm]
> [mm]=\bruch{(x²+4)\wurzel{x}-4x²\wurzel{x}}{2x}[/mm]
> [mm]=\bruch{(x²-4x²+4)\wurzel{x}}{2x}[/mm]
> =...
okay, dann geht es so weiter:
= [mm] \bruch{\bruch{(x²-4x²+4)\wurzel{x}}{2x}}{(x²+4)²} [/mm] |*2x
= [mm] \bruch{(x²-4x²+4)\wurzel{x}}{(x²+4)² \cdot{} 2x}
[/mm]
wie kann man dies noch vereinfachen? damit ich es dann =0 setzen kann um zu sehen, an welcher Stelle die Fkt. eine Tangente hat.
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(Korrektur) kleiner Fehler  | | Datum: | 19:20 Sa 03.11.2007 | | Autor: | informix |
Hallo M.Rex,
> Hallo.
>
> Du hast ja korrekterweise:
>
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} x²+4 - \wurzel{x} \cdot{} 2x}{(x²+4)²}[/mm]
>
> Nehmen wir mal nur den Zähler:
>
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{}[/mm] x²+4 - [mm]\wurzel{x} \cdot{}[/mm]
> 2x
> [mm]=\bruch{x²+4}{2\wurzel{x}}-\wurzel{x}*2x[/mm]
> Wenn ich den ersten Teil jetzt mit [mm]\wurzel{x}[/mm] erweitere,
> gibt sich:
>
> [mm]\bruch{(x²+4)\red{\wurzel{x}}}{2\wurzel{x}\red{\wurzel{x}}}-2x*\wurzel{x}[/mm]
> Und jetzt kannst du im Nenner zusammenfassen zu 2x und den
> hinteren Term mit eben diesen 2x erweitern um den
> Hauptnenner zu bekommen.
>
> Also:
> [mm]\bruch{(x²+4)\wurzel{x}}{2x}-\bruch{4x²\wurzel{x}}{2x}[/mm]
> [mm]=\bruch{(x²+4)\wurzel{x}-4x²\wurzel{x}}{2x}[/mm]
> [mm]=\bruch{(x²-4x²+4)\wurzel{x}}{2x}[/mm]
> =...
in Eurer Ableitung muss irgendwo ein Fehler stecken.
Ich bekomme (mit meinem Derive) als Ableitung: [mm] f'(x)=\bruch{4-3x^2}{2\wurzel{x}(x^2+4)^2} [/mm]
Ich habe jetzt aber keine Zeit, den Fehler zu suchen...
Im übrigen: ein solcher Bruch ist schon gleich 0, wenn der Zähler 0 ist... 
Gruß informix
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(Korrektur) fundamentaler Fehler  | | Datum: | 19:44 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Blech |
> in Eurer Ableitung muss irgendwo ein Fehler stecken.
> Ich bekomme (mit meinem Derive) als Ableitung:
> [mm]f'(x)=\bruch{4-3x^2}{2\wurzel{x}(x^2+4)^2}[/mm]
> Ich habe jetzt aber keine Zeit, den Fehler zu suchen...
Das ist genau das gleiche (bis auf ein zusätzliches [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] in Zähler und Nenner, dessen Sinn ich auch nicht verstehe, das aber nicht falsch ist), das sie auch haben.
Sorry für die vernichtende Kritik =)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:22 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
Bei Aufgabe b.) hast Du alles richtig gerechnet.
Aaaber ... ist denn der errechnete Wert $x \ = \ 0$ auch im vorgegebenen Definitionsbereich?
Gruß
Loddar
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:28 Sa 03.11.2007 | | Autor: | itse |
> Hallo itse!
>
>
> Bei Aufgabe b.) hast Du alles richtig gerechnet.
>
> Aaaber ... ist denn der errechnete Wert [mm]x \ = \ 0[/mm] auch im
> vorgegebenen Definitionsbereich?
nein, der Definitionsbereich ist x>1, also hat die Funktion keine waagerechte Tangente?
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 12:29 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Loddar |
Hallo itse!
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
Gruß
Loddar
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 19:41 Sa 03.11.2007 | | Autor: | Blech |
> a)
>
> [mm]f(x)=\bruch{\wurzel{x}}{x²+4}[/mm] (x>0)
>
> [mm]u=\wurzel{x}, u'=\bruch{1}{2\wurzel{x}}[/mm]
>
> v=x²+4, v'=2x, v²=(x²+4)²
>
> [mm]f'(x)=\bruch{\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} x²+4 - \wurzel{x} \cdot{} 2x}{(x²+4)²}[/mm]
Du hast die Klammer vergessen:
[mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} x^2+4 =\frac{x^2}{2}+4$.
[/mm]
Irgendwann weißt Du nicht mehr, wie es gemeint war und dann passieren Fehler.
Sonst:
Ein Bruch ist genau dann gleich 0, wenn sein Zähler gleich 0 ist. Der Nenner ist wurscht, solange er ungleich 0 ist.
[mm] $(x^2+4)^2>0$ [/mm] für alle x, ist also kein Problem
[mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} (x^2+4) [/mm] - [mm] \wurzel{x} \cdot{} [/mm] 2x= [mm] \bruch{x^2+4}{2\wurzel{x}}- \wurzel{x} \cdot{} [/mm] 2x$
Auf einen Nenner bringen, indem wir hinten mit [mm] $2\sqrt{x}$ [/mm] erweitern:
[mm] $\bruch{x^2+4- 2\sqrt{x}\wurzel{x}\ \cdot{} 2x}{2\wurzel{x}}=\bruch{x^2+4- 2x \cdot{} 2x}{2\wurzel{x}}=\bruch{4- 3x^2}{2\wurzel{x}}$
[/mm]
Soweit, warst Du mehr oder weniger auch schon, aber es gibt keinen Grund das zusätzliche [mm] $\sqrt{x}$ [/mm] mit rumzuschleppen.
Jetzt können wir wiederum den Nenner ignorieren (da nach Voraussetzung x>0 sein soll):
$4- [mm] 3x^2=0$
[/mm]
[mm] $4=3x^2$
[/mm]
[mm] $\frac{2}{\sqrt{3}}=x$
[/mm]
Man beachte, daß [mm] $-\frac{2}{\sqrt{3}}$ [/mm] keine Lösung ist, da ja wie eben schon erwähnt x>0
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 08:15 So 04.11.2007 | | Autor: | itse |
Guten Morgen,
> [mm]\bruch{1}{2\wurzel{x}} \cdot{} (x^2+4) - \wurzel{x} \cdot{} 2x= \bruch{x^2+4}{2\wurzel{x}}- \wurzel{x} \cdot{} 2x[/mm]
>
> Auf einen Nenner bringen, indem wir hinten mit [mm]2\sqrt{x}[/mm]
> erweitern:
> [mm]\bruch{x^2+4- 2\sqrt{x}\wurzel{x}\ \cdot{} 2x}{2\wurzel{x}}=\bruch{x^2+4- 2x \cdot{} 2x}{2\wurzel{x}}=\bruch{4- 3x^2}{2\wurzel{x}}[/mm]
diesen Schritt mit erweitern und zusammenfassen, dass man auf die endgültige Form kommt, könnte mir das jemand noch zeigen? mein Bruch sah so aus: $ [mm] \bruch{(x²-4x²+4)\wurzel{x}}{(x²+4)² \cdot{} 2x} [/mm] $. Bei diesem hier: [mm] $\bruch{4- 3x^2}{2\wurzel{x}}$ [/mm] wurde der Term (x²+4)² weggelassen oder? Weil ja (x²+4)² > 0 für alle x gilt. Vielen Dank im Voraus.
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 08:44 So 04.11.2007 | | Autor: | koepper |
Guten Morgen itse,
[mm] $\bruch{1}{2\wurzel{x}} [/mm] * [mm] (x^2+4) [/mm] - [mm] \wurzel{x} [/mm] * 2x = [mm] \bruch{x^2+4}{2\wurzel{x}}- \wurzel{x} [/mm] * 2x = [mm] \bruch{x^2+4}{2\wurzel{x}}- \frac{\wurzel{x} * 2x * 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}} [/mm] = [mm] \bruch{x^2+4 - \wurzel{x} * 2x * 2\wurzel{x}}{2\wurzel{x}} =\bruch{x^2+4- 2x \cdot{} 2x}{2\wurzel{x}}=\bruch{4- 3x^2}{2\wurzel{x}}$
[/mm]
> diesen Schritt mit erweitern und zusammenfassen, dass man
> auf die endgültige Form kommt, könnte mir das jemand noch
> zeigen? mein Bruch sah so aus:
> [mm]\bruch{(x²-4x²+4)\wurzel{x}}{(x²+4)² \cdot{} 2x} [/mm].
Bedenke einfach, daß [mm] $x^2 [/mm] - [mm] 4x^2 [/mm] = [mm] -3x^2$
[/mm]
Gruß
Will
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