wann ist Menge ein Körper? < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 18:48 Di 01.04.2014 | | Autor: | elmanuel |
| Aufgabe | Sei A= [mm] \pmat{ 0 & -q \\ 1 & -p } [/mm] wobei p,q aus [mm] \IQ
[/mm]
Für welche werte p,q bildet die Menge aller Matritzen der Gestalt
[mm] a*I_2 [/mm] + b*A (wobei a,b aus [mm] \IQ [/mm] sind) einen Körper? |
Hallo liebe Gemeinde!
Also ich brauche für einen Körper erstmal Abgeschlossenheit bzgl Addition und Multiplikation und die Existenz vom Inversen... (die restlichen Körperaxiome sollten O.K. sein)
Die Matritzen haben also diese Gestalt
[mm] \pmat{ a & 0 \\ 0 & a } [/mm] + [mm] \pmat{ 0 & -q*b \\ b & -p*b }
[/mm]
wie kann ich jetzt ein Gleichungssystem aufstellen um Bedingungen für p und Q bzgl. Abgeschlossenheit zu erhalten?
meine erste Idee war mal für die Addition ich nehme 2 Elemente der Menge und addiere:
[mm] \pmat{ a_1& -q*b_1 \\ b_1 & a_1-p*b_1 } [/mm] + [mm] \pmat{ a_2& -q*b_2 \\ b_2 & a_2-p*b_2 }
[/mm]
=
[mm] \pmat{ a_1+a_2& -q*(b_1+b_2) \\ b_1+b2 & a_1+a_2-p*(b_1+b_2) }
[/mm]
und weil die summe von zwei rationalen zahlen wieder rational ist brauche ich keine weitere Bedingung an p und q bzgl der Abgeschlossenheit bzgl der Addition !?
Bin ich am richtigem Weg?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:20 Di 01.04.2014 | | Autor: | leduart |
Hallo
ja, für die Addition ist das richtig, du solltest noch das (triviale Nullelement und das additiv inverse nennen.
Gruß leduart
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Wie finde ich in diesem Fall am besten das Inverse Element? Wäre über einen Tipp oder eine Hilfestellung sehr dankbar :)
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(Antwort) fertig | | Datum: | 12:56 Do 03.04.2014 | | Autor: | chrisno |
Etwas flotteres als die Formel für 2x2-Matrizen (aus Wikipedia) sehe ich kaum.
A$^{-1} = [mm] \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \\ \end{pmatrix}^{-1} [/mm] = [mm] \frac{1}{\det(A)} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix} [/mm] = [mm] \frac{1}{ad-bc} \begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \\ \end{pmatrix}$ [/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 22:47 Do 03.04.2014 | | Autor: | elmanuel |
Danke leduart und allen beteiligten!
das inverse gibt es in diesem fall natürlich nur dann wenn p und q so gewählt sind das alle matritzen der menge eine determinante ungleich 0 haben (bis auf das additive nullelement)
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