zentraler Grenzwertsatz < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:42 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Bonnie13 |
Also ich soll zeigen , dass die Varianz der Summe im Grenzwertsatz gleich 1 ist. Wie berechne ich das?
P(a< [mm] n^-1\cdot \summe_{i=1}^{n}( x_i-EX_1) [/mm] <b)also es geht um die Varianz von der summe mal n hoch -eins.
Wäre echt dankbar für eure anmerkungen..hab schon überall gesucht.
lg Bonnie
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 11:14 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Bonnie13 |
zentraler Grenzwertsatz:
Sind [mm] X_1, X_2 [/mm] ... unabhängige identisch verteilt mit [mm] Mittelwert\mu=EX_1 [/mm] und Varianz [mm] sigma^2 =E(X_1-EX_1)^2, [/mm] so gilt für beliebige a,b mit a<b
[mm] P(a
Man soll jetzt zeigen , dass das was zwischen a und b steht die varianz 1 hat.
Hoffe das ist hilfreicher.
dake schonmal
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:42 Fr 14.09.2007 | | Autor: | luis52 |
Moin ,
Ah, schon besser, aber nicht gut genug. Ich vermute, da steht
[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\frac{X_i-\mu}{\sigma}$
[/mm]
(Das [mm] $\sigma$ [/mm] fehlt in deinen Formeln.) Wenn das stimmt, dann kannst du
so argumentieren. Betrachte [mm] $Y_n=\sum_{i=1}^nX_i$. [/mm] Dann gilt
[mm] $\operatorname{E}[Y_n]=n\mu$ [/mm] und [mm] $\operatorname{Var}[Y_n]=n\sigma^2$.
[/mm]
Jetzt standardisieren wir [mm] $Y_n$:
[/mm]
[mm] $\frac{Y_n-\operatorname{E}[Y_n]}{\sqrt{\operatorname{Var}[Y_n]}}
[/mm]
[mm] =\frac{\sum X_i-n\mu}{\sqrt{n\sigma^2}}=\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^n\frac{X_i-\mu}{\sigma}$
[/mm]
Dass aber jede Standardisierung einer Zufallsvariablen den
Erwartungswert Null und die Varianz Eins (nicht, wie du in deiner
letzten Mitteilung schreibst, [mm] $\sigma^2$) [/mm] hat, wird in dem von mir
genannten Link gezeigt.
lg
Luis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:03 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Bonnie13 |
Ach ja die Frage war aus einm Prüfungsprotokoll und dass war wahrscheinlich nicht vollständig.Danke für deine antwort , die hat mir sehr geholfen.
Wie wäre denn die Varianz,wenn die Aufgabe so lautet wie ich es geschrieben habe? War auch eine Frage in einer anderen Prüfung. Kann man die Varianz dann berechnen?
Und wenn ja wie??
Danke nochmal
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:30 Fr 14.09.2007 | | Autor: | luis52 |
> Wie wäre denn die Varianz,wenn die Aufgabe so lautet wie
> ich es geschrieben habe? War auch eine Frage in einer
> anderen Prüfung. Kann man die Varianz dann berechnen?
> Und wenn ja wie??
Hallo Bonni13,
du hast zwei Versionen... Ich betrachte mal die zweite:
[mm] $\frac{1}{\sqrt{n}}\sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)=\frac{1}{\sqrt{n}}(Y_n-n\mu)$.
[/mm]
Es ist
[mm] $\operatorname{E}[\frac{1}{\sqrt{n}}(Y_n-n\mu)]=\frac{1}{\sqrt{n}}(\operatorname{E}[Y_n]-n\mu)=0$
[/mm]
und
[mm] $\operatorname{Var}[\frac{1}{\sqrt{n}}(Y_n-n\mu)]=\frac{1}{n}\operatorname{var}[Y_n]=\frac{n\sigma^2}{n}=\sigma^2$.
[/mm]
lgluis
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 13:43 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Bonnie13 |
Danke schonmal, aber ich verstehe nicht wie aus der [mm] 1/\wurzel[2]{n} [/mm] ein [mm] 1/\n [/mm] wird und wohin ist das [mm] \mu*n [/mm] ?
Kannst du vielleicht diesen Schritt besser erläutern, ich muss das evtl in einer mündlichen Prüfung erklären können.
Danke
lg Bonnie
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:58 Fr 14.09.2007 | | Autor: | luis52 |
> Danke schonmal, aber ich verstehe nicht wie aus der
> [mm]1/\wurzel[2]{n}[/mm] ein [mm]1/n[/mm] wird und wohin ist das [mm]\mu*n[/mm] ?
> Kannst du vielleicht diesen Schritt besser erläutern, ich
> muss das evtl in einer mündlichen Prüfung erklären können.
Hm, leider weiss ich nicht, worauf du dies beziehst. Sei $X$ eine
Zufallsvariable und [mm] $a,b\in\IR$ [/mm] feste Zahlen. Dann gelten die alten Bauernregeln:
[mm] $\operatorname{E}[aX+b]=a\operatorname{E}[X]+b$
[/mm]
und
[mm] $\operatorname{Var}[aX+b]=a^2\operatorname{Var}[X]$.
[/mm]
Die habe ich ausgenutzt. (Beliebte Frage in muendlichen Pruefungen:
Beweisen Sie diese Gleichungen...)
lgluis
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:00 Fr 14.09.2007 | | Autor: | Bonnie13 |
Oh je, da stand ich aber auf dem Schlauch. Ja jetzt ist mir alles klar.
Hab wohl gestern zu lange gelernt.
Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!
lg Bonnie
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 14:10 Fr 14.09.2007 | | Autor: | luis52 |
> Oh je, da stand ich aber auf dem Schlauch. Ja jetzt ist mir
> alles klar.
> Hab wohl gestern zu lange gelernt.
> Vielen Dank für deine Hilfe!!!!!
Gerne.
lgluis
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http://de.wikibooks.org/wiki/Mathematik:_Statistik:_Funktionen_von_Zufallsvariablen