zum Satz von Hermite-Lindemann < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Seien [mm] \alpha_1,...,\alpha_n [/mm] verschiendene algebraische Zahlen und [mm] \beta_1,...,\beta_n [/mm] algebraische Zahlen ungleich 0.
Es gilt [mm] \beta_1 e^{\alpha_1} [/mm] + [mm] \ldots [/mm] + [mm] \beta_n e^{\alpha_n} [/mm] = 0.
Durch Multiplikation mit den Konjugierten der [mm] \beta_i [/mm] und Teilung durch den Hauptnenner, kann man aus den algebraischen [mm] \beta_i [/mm] ganze Zahlen machen. |
Wie kann ich mir dies vorstellen, wenn ich ein [mm] \beta [/mm] mit allen seinen Konjugierten multipliziere wird es ganz, das verstehe ich, aber man multipliziert ja dann auch die anderen [mm] \beta [/mm] mit diesem Konjugierten... Wie sollen diese dann wiederum ganz werden?
Hoffe mir kann jemand helfen, der davon Ahnung hat.
Vielen Dank Mathefuchs
PS: Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
|
|
| |
|
> Seien [mm]\alpha_1,...,\alpha_n[/mm] verschiendene algebraische
> Zahlen und [mm]\beta_1,...,\beta_n[/mm] algebraische Zahlen ungleich
> 0.
> Es gilt [mm]\beta_1 e^{\alpha_1}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]\beta_n e^{\alpha_n}[/mm]
> = 0.
> Durch Multiplikation mit den Konjugierten der [mm]\beta_i[/mm] und
> Teilung durch den Hauptnenner, kann man aus den
> algebraischen [mm]\beta_i[/mm] ganze Zahlen machen.
> Wie kann ich mir dies vorstellen, wenn ich ein [mm]\beta[/mm] mit
> allen seinen Konjugierten multipliziere wird es ganz, das
> verstehe ich, aber man multipliziert ja dann auch die
> anderen [mm]\beta[/mm] mit diesem Konjugierten... Wie sollen diese
> dann wiederum ganz werden?
> Hoffe mir kann jemand helfen, der davon Ahnung hat.
Hallo,
leider gehöre ich nicht direkt zu diesem Personenkreis...
Bist Du Dir sicher, daß Du diese Aufgabe richtig wiedergegeben hast?
Ich blicke da nicht so recht durch.
Wie ist der Zusammenhang zwischen dem ersten und zweiten Satz?
Soll der erste Satz wirklich eine Voraussetzung sein, oder möchtest Du den beweisen bzw. widerlegen, und brauchst dazu das Resultat des zweiten Satzes?
Gruß v. Angela
|
|
|
| |
|
Hallo, also ich habe [mm] \alpha_1,...,\alpha_n [/mm] und [mm] \beta_1,...,\beta_n [/mm] alles algebraische Zahlen gegeben. Dann sagt der Satz von Hermite Lindemann, dass [mm] \beta_1 e^{\alpha_1} [/mm] + ... + [mm] \beta_n e^{\alpha_n} \not= [/mm] 0 ist.
Um diesen Satz zu beweisen fange ich mit einem Widerspruchsbeweis an, d.h. ich nehme an, dass [mm] \beta_1 e^{\alpha_1} [/mm] + ... + [mm] \beta_n e^{\alpha_n} [/mm] = 0 ist.
Nun steht hier in meiner Quelle dass ich durch Multiplikation mit den Konjugierten der [mm] \beta_i [/mm] erreichen kann, dass die [mm] \beta_i [/mm] rational werden.
Und wie dies funktionieren soll verstehe ich nicht genau.
Hoffe die Aufgabe ist nun verständlicher formuliert.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Do 18.10.2007 | | Autor: | felixf |
Hallo.
Ich werd erst naechste Woche wieder in meine Unterlagen gucken koennen, wo ich den Beweis von dem Satz habe, aber an ein wenig erinner ich mich noch, insofern versuch ich jetzt schonmal zu antworten.
> Seien [mm]\alpha_1,...,\alpha_n[/mm] verschiendene algebraische
> Zahlen und [mm]\beta_1,...,\beta_n[/mm] algebraische Zahlen ungleich
> 0.
> Es gilt [mm]\beta_1 e^{\alpha_1}[/mm] + [mm]\ldots[/mm] + [mm]\beta_n e^{\alpha_n}[/mm]
> = 0.
>
> Durch Multiplikation mit den Konjugierten der [mm]\beta_i[/mm] und
> Teilung durch den Hauptnenner, kann man aus den
> algebraischen [mm]\beta_i[/mm] ganze Zahlen machen.
> Wie kann ich mir dies vorstellen, wenn ich ein [mm]\beta[/mm] mit
> allen seinen Konjugierten multipliziere wird es ganz, das
> verstehe ich, aber man multipliziert ja dann auch die
> anderen [mm]\beta[/mm] mit diesem Konjugierten... Wie sollen diese
> dann wiederum ganz werden?
Der Trick geht wie folgt: du nimmst eine endliche Koerpererweiterung [mm] $K/\IQ$, [/mm] welche galoisch ist und all die algebraischen Zahlen enthaelt. Die Galoisgruppe sei $G$. Setze $L := [mm] \beta_1 X_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \beta_n X_n$ [/mm] und betrachte das Polynom $f := [mm] \prod_{\sigma \in G} L^\sigma$, [/mm] wobei [mm] $L^\sigma [/mm] = [mm] \sigma(\beta_1) X_1 [/mm] + [mm] \dots [/mm] + [mm] \sigma(\beta_n) X_n$ [/mm] sei. Dann ist $f$ invariant unter $G$, womit die Koeffizienten von $f$ in [mm] $\IQ$ [/mm] liegen. Und wenn man halt noch mit dem Hauptnenner multipliziert hat man schliesslich ein Polynom $f [mm] \in \IZ[X_1, \dots, X_n]$.
[/mm]
Und weiterhin gilt [mm] $L(e^{\alpha_1}, \dots, e^{\alpha_n}) [/mm] = 0$ genau dann, wenn [mm] $f(e^{\alpha_1}, \dots, e^{\alpha_n}) [/mm] = 0$ ist.
Jetzt hat man allerdings keine Linearform mehr, sondern ein Polynom von Grad $n$, und man muss eine weitere Reduktion machen um im Beweis weiter zu kommen. (Der Trick ist dass man [mm] $e^{\alpha_{i_1}} \cdots e^{\alpha_{i_n}} [/mm] = [mm] e^{\alpha_{i_1}+\dots+\alpha_{i_n}}$ [/mm] schreibt und damit die Menge der [mm] $\alpha_i$ [/mm] vergroessert.)
LG Felix
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 00:43 Mi 24.10.2007 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
