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Benutzer:tobit09/Stochastik3

Stochastisches Modellieren für Einsteiger

$ \leftarrow $ 2. Ereignisse E $ \uparrow $ Inhaltsverzeichnis $ \rightarrow $ 4. Zufallsvariablen X

3. Zähldichten $ p $ und Wahrscheinlichkeits-Verteilungen $ P $


a) Zähldichten $ p $


Nachdem ein stochastischer Vorgang durch eine Ergebnismenge $ \Omega $ beschrieben ist, kann die zugehörige Zähldichte $ p $ angegeben werden. $ p $ ist eine Vorschrift (Abbildung), die jedem Ergebnis $ \omega\in\Omega $ die Wahrscheinlichkeit von Ausgang $ \omega $ zuordnet.


Beispiel: Würfelwurf

$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\} $
Bekanntlich hat jede der Zahlen von 1 bis 6 beim Würfelwurf Wahrscheinlichkeit $ \bruch16 $, geworfen zu werden. Also:
$ p(1):=\bruch16 $, $ p(2):=\bruch16 $, $ p(3):=\bruch16 $, $ p(4):=\bruch16 $, $ p(5):=\bruch16 $, $ p(6):=\bruch16 $
Kürzer: $ p(\omega):=\bruch16 $ für alle $ \omega\in\Omega $


Aufgabe 7: Geben Sie eine geeignete Zähldichte für das Drehen des Glücksrades an, dessen eine Hälfte aus einem Nietenfeld und dessen andere Hälfte wiederum zur Hälfte aus einem Trostpreisfeld und einem Hauptpreisfeld besteht.

Lösungsvorschlag



b) Wahrscheinlichkeits-Verteilungen $ P $


Die Zähldichte $ p $ ordnet jedem Ergebnis $ \omega\in\Omega $ die Wahrscheinlichkeit von Ausgang $ \omega $ zu. Die zugehörige Wahrscheinlichkeits-Verteilung $ P $ ordnet dagegen jedem Ereignis $ E\subseteq\Omega $ seine Wahrscheinlichkeit zu. $ P $ hängt mit $ p $ in folgender Weise zusammen:

    $ P(E)=\sum_{\omega\in E}p(\omega) $

für alle $ E\subseteq\Omega $.


Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, beim Werfen eines Würfels eine gerade Zahl zu würfeln?

$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\} $
Wir suchen die Wahrscheinlichkeit von $ E:=\{2,4,6\} $.
$ p(\omega):=\bruch16 $ für alle $ \omega\in\Omega $.
$ P(E)=p(2)+p(4)+p(6)=\bruch16+\bruch16+\bruch16=\bruch12 $
Also beträgt die gesuchte Wahrscheinlichkeit $ \bruch12 $.


Aufgabe 8: Wie wahrscheinlich ist es bei dem Glücksrad aus Aufgabe 7, keine Niete zu erdrehen?

Lösungsvorschlag



c) Laplace-Experimente


Ein Laplace-Experiment ist ein stochastischer Vorgang, bei dem alle Ausgänge $ \omega\in\Omega $ gleich wahrscheinlich sind. Diese Wahrscheinlichkeit jedes einzelnen Ergebnisses $ \omega $ lautet in diesem Fall

     $ p(\omega):=\bruch1{|\Omega|} $,

wobei $ |\Omega| $ die Anzahl der Elemente von $ \Omega $ (also die Anzahl aller möglichen Ausgänge) bezeichnet. Weiter gilt im Falle eines Laplace-Experimentes

    $ P(E)=\bruch{|E|}{|\Omega|} $

für alle Ereignisse $ E\subseteq\Omega $.


Beispiel: Wie wahrscheinlich ist es, beim zweifachen Würfelwurf eine gerade Augensumme zu erhalten?

$ \Omega:=\{1,2,3,4,5,6\}^2 $
Gesucht ist die Wahrscheinlichkeit von
$ E:=\{(\omega_1,\omega_2)\in\Omega\;|\;\omega_1+\omega_2\text{ gerade}\}=\{(1,1),(1,3),(1,5),(2,2),(2,4),(2,6),(3,1),(3,3),(3,5),(4,2),(4,4),(4,6),(5,1),(5,3),(5,5),(6,2),(6,4),(6,6)\} $.
Es liegt ein Laplace-Experiment vor (alle Paare $ (\omega_1,\omega_2)\in\Omega $ haben gleiche Wahrscheinlichkeit).
(Also $ p(\omega)=\bruch1{|\Omega|}=\bruch1{36} $ für alle $ \omega\in\Omega $.)
Somit gilt $ P(E)=\bruch{|E|}{|\Omega|}=\bruch{18}{36}=\bruch12 $.
Die gesuchte Wahrscheinlichkeit lautet also $ \bruch12 $.


Aufgabe 9: Liegt in den folgenden Situationen jeweils ein Laplace-Experiment vor?
(i) 10-facher Münzwurf (mit einer fairen Münze)
(ii) Aus der Urne mit 3 schwarzen und einer weißen Kugel wird eine Kugel gezogen. $ \Omega:=\{s,w\} $
(iii) Aus der Urne mit 3 schwarzen und einer weißen Kugel wird eine Kugel gezogen. $ \Omega:=\{1,2,3,4\} $, wobei 1, 2 und 3 für die schwarzen Kugeln stehen und 4 für die weiße Kugel steht.

Lösungsvorschlag


Hat man wie in den Teilen (ii) und (iii) von Aufgabe 9 die Wahl zwischen mehreren Ergebnismengen $ \Omega $, von denen eine ein Laplace-Experiment darstellt, so sollte man diese wählen. Zum einen sind so die einzelnen Wahrscheinlichkeiten $ p(\omega) $ besser begründet oder lassen sich überhaupt nur so problemlos angeben. Zum Anderen lässt sich mit Laplace-Verteilungen wegen $ P(E)=\bruch{|E|}{|\Omega|} $ besser rechnen.

Letzte Änderung: Do 29.11.2012 um 00:54 von tobit09
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