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Funktionsgrenzwert
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Funktionsgrenzwert

Universität

Seien $ (X,d)\, $ und $ (Y,e)\, $ metrische Räume und sei $ f \colon X \to Y $ eine Funktion (zwischen den beiden metrischen Räumen; man schreibt dafür auch oft einfach $ f \colon (X,d) \to (Y,e). $). Sei $ x_0 $ ein Häufungspunkt (Menge) der Menge X. Die $ \epsilon-\delta- $ (besser: $ \epsilon-\delta-x_0- $) Definition des Begriffes Funktionsgrenzwert an der Stelle $ \mathbf{x_0} $ (siehe auch Grenzwert) lautet wie folgt:

Man sagt, $ f\, $ habe an der Stelle $ x_0 $ einen Funktionsgrenzwert, wenn gilt:
Es existiert ein $ g \in Y $ so, dass

   $ \forall \epsilon > 0 \exists \delta=\delta_{x_0,\epsilon} > 0:\;\;\forall x \in X: \;\;0 \blue{\;<\;}d(x,x_0) < \delta \Longrightarrow e(f(x),\blue{\;g\;}) < \epsilon. $

Falls ein $ g\, $ wie oben existiert, so schreibt man auch $ \lim_{x \to x_0}f(x):=g. $ Man beachte dabei, dass das Symbol $ \lim_{x \to x_0}f(x) $ für den Funktionsgrenzwert von $ f\, $ an der Stelle $ x_0 $ im Sinne von $ \lim_{x_0 \not=x \to x_0}f(x) $ verwendet wird. Beachtenswert ist dabei insbesondere, dass weder $ f\, $ an der Stelle $ x_0 $ zu definiert sein braucht, noch, dass, falls $ x_0 \in X $ gilt, auch $ \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) $ gelten muss. Falls allerdings $ x_0 \in X $ gilt, so ist $ f\, $ genau dann stetig in $ x_0 \in X, $ falls $ \lim_{x \to x_0}f(x)=f(x_0) $ gilt.

Beispiel(e):
Betrachten wir

   $ g \colon \IR \to \IR $


mit g(3):=2 und g(x):=1 für alle $ x \in \IR \setminus \{3\}. $ Ferner betrachten wir $ h:=g_{|\IR \setminus \{3\}}\,. $

Dann gilt mit $ x_0:=3 $ sowohl $ \lim_{x \to x_0}g(x)=\lim_{x \to 3}g(x)=1 $ als auch $ \lim_{x \to x_0}h(x)=\lim_{x \to 3}h(x)=1\,, $ obwohl zum einen $ g(x_0)=g(3)=2 \not=1 $ ist als auch zum anderen $ h(3)\, $ gar nicht existiert.

Beweis:
Sei $ \epsilon > 0\,. $ Sogar für jedes $ \delta > 0 $ gilt: Für $ 0 < |x-3| < \delta $ folgt (weil dann $ g(x)=1\, $ wegen $ x \not=3 $ ist)

   $ |g(x)-1|=|1-1|=0 < \epsilon\,. $


Analog auch:
Sei $ \epsilon > 0\,. $ Sogar für jedes $ \delta > 0 $ gilt: Für $ 0 < |x-3| < \delta $ folgt (weil dann $ h(x)=1\, $ wegen $ x \not=3 $ ist)

   $ |h(x)-1|=|1-1|=0 < \epsilon\,. $

$ \Box $

Letzte Änderung: Di 18.06.2013 um 11:22 von Marcel
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