matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast! [ einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen
   Einstieg
   
   Index aller Artikel
   
   Hilfe / Dokumentation
   Richtlinien
   Textgestaltung
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
Startseite > Hornerschema
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Hornerschema
Mach mit! und verbessere/erweitere diesen Artikel!
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren

Hornerschema

Schule


Das Horner-Schema vereinfacht die Berechnung von Funktionswerten



Beispiel anhand einer Polynomfunktion 3.Grades

Die allgemeine Darstellung einer Polynomfunktion 3.Grades lautet


$ f(x)=a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0 $

Ist von dieser Funktion eine Nullstelle $ x_0 $ bekannt, so lässt sich der Linearfaktor $ (x-x_0) $ abspalten und die Funktion 3.Grades geht in eine Funktion 2.Grades ohne Restpolynom r(x) über


$ (a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0):(x-x_0)=b_2x^2+b_1x+b_0+\underbrace{r(x)}_{=\red{0}} $

Die Bestimmung der Koeffizienten des reduzierten Polynoms erfolgt nach folgender Systematik


$ b_2=a_3 $

$ b_1=a_2+a_3x_0 $

$ b_0=a_1+a_2x_0+a_3x_0^2 $

$ r(x)=\bruch{a_0+a_1x_0+a_2x^2_0+a_3x_0^3}{x-x_0} $

Das Verfahren ist nicht nur gültig für Polynome beliebiger Ordnung sondern auch für Stellen, welche keine Nullstellen sind.



Zahlenbeispiel


$ f(x)=3x^3+3x^2-3x-3 $

Man findet leicht eine Nullstelle bei $ x_0=-1 $

Dann ist


$ (3x^3+3x^2-3x-3):(x+1)=3x^2-3 $

weil


$ b_2=a_3=\blue{3} $

$ b_1=a_2+a_3x_0=3+3\cdot{}(-1)=\blue{0} $

$ b_0=a_1+a_2x_0+a_3x_0^2=-3+3\cdot{}(-1)+3\cdot{}(-1)^2=\blue{-3} $

$ r(x)=\bruch{a_0+a_1x_0+a_2x^2_0+a_3x_0^3}{x-x_0}=\bruch{-3-3\cdot{}(-1)+3\cdot{}(-1)^2+3\cdot{}(-1)^3}{x+1}=\bruch{\red{0}}{x+1} $



Nun das gleiche Beispiel noch einmal, wobei diesmal $ x_0=2 $ gewählt ist (keine Nullstelle der Funktion)


$ f(x)=3x^3+3x^2-3x-3 $

Dann ist


$ (3x^3+3x^2-3x-3):(x-2)=3x^2+9x+15+\bruch{27}{x-2} $

weil


$ b_2=a_3=\blue{3} $

$ b_1=a_2+a_3x_0=3+3\cdot{}(2)=\blue{9} $

$ b_0=a_1+a_2x_0+a_3x_0^2=-3+3\cdot{}(2)+3\cdot{}(2)^2=\blue{15} $

$ r(x)=\bruch{a_0+a_1x_0+a_2x^2_0+a_3x_0^3}{x-x_0}=\bruch{-3-3\cdot{}(2)+3\cdot{}(2)^2+3\cdot{}(2)^3}{x-2}=\bruch{27}{x-2} $



gute Erklärungen:

[link]http://members.chello.at/gut.jutta.gerhard/kurs/horner.htm
[link]http://www.zum.de/Faecher/M/NRW/pm/mathe/horner.htm

Erstellt: Mo 28.02.2005 von informix
Letzte Änderung: Do 05.11.2009 um 09:41 von Herby
Artikel • Seite bearbeiten • Versionen/Autoren • Titel ändern • Artikel löschen • Quelltext
^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]