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Vieta
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Vieta

Satz von Vieta

Voraussetzungen und Behauptung:

Gegeben sei eine quadratische Funktion $ f(x)=x^2+px+q $

Gesucht seien die Nullstellen $ x_{1,2} $

Dann gilt:


$ f(x) = (x-x_1)(x-x_2)=0 $

mit $ p = -(x_1+x_2) $ und $ q=x_1\cdot{}x_2 $


Bemerkungen

Damit erhält man eine sehr schnelle Methode, Nullstellen "durch Hingucken" zu bestimmen.
Leider funktioniert dies Verfahren nur bei ganzen Zahlen p und q, die nicht zu groß sind.

Da aber in der Schule die Nullstellen häufig im Bereich [[-20|20] liegen, kann man mit ein wenig Training die p/q-Formel umgehen und damit die Rechnung beschleunigen.


Beispiele

$ 0=x^2+5x+6=(x+2)(x+3) $ weil 2+3=5  und 2*3=6 $ \Rightarrow x_1=-2; x_2=-3 $

$ 0=x^2-5x+6=(x-2)(x-3) $ weil -2-3=-5  und -2*(-3)=6 $ \Rightarrow x_1=2; x_2=3 $

$ 0=x^2+5x-6=(x-1)(x+6) $ weil -1+6=5  und -1*6=-6 $ \Rightarrow x_1=1; x_2=-6 $

$ 0=x^2-5x-6=(x+1)(x-6) $ weil 1-6=5  und 1*(-6)=6 $ \Rightarrow x_1=-1; x_2=6 $

$ 0=x^2+7x+6=(x+1)(x+6) $ weil 1+6=7  und 1*6=6 $ \Rightarrow x_1=-1; x_2=-6 $


Beweis

ergibt sich durch Ausrechnen:
$ (x-x_1)(x-x_2)=x^2 - (x_1+x_2)\cdot{}x + (x_1\cdot{}x_2) = x^2 + px +q $


Erstellt: Mi 10.11.2004 von informix
Letzte Änderung: Di 09.10.2007 um 16:06 von informix
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