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Benutzer:tobit09/Beweis-Anleitung Beispiel-surjektiv

Wie führe ich einen Beweis?

$ \leftarrow $ d) Gruppe $ \uparrow $ 5. Beispiele $ \rightarrow $ f) Injektivität, Bilder und Urbilder

5. Beispiele


e) Surjektivität


Aufgabe:

Seien X,Y und Z Mengen. Seien $ f\colon X\to Y $ und $ g\colon Y\to Z $ beide surjektiv. Zeigen Sie, dass dann auch $ g\circ f\colon X\to Z $ surjektiv ist.


Vorbereitung des Beweises:

Voraussetzungen:

"$ f\colon X\to Y $ surjektiv" bedeutet:

    $ \forall y\in Y\colon\exists x\in X\colon f(x)=y $.

"$ g\colon Y\to Z $ surjektiv" bedeutet:

    $ \forall z\in Z\colon\exists y\in Y\colon g(y)=z $.

Behauptung:

"$ g\circ f\colon X\to Z $ surjektiv" bedeutet:

    $ \forall z\in Z\colon\exists x\in X\colon (g\circ f)(x)=z $.

Darin bedeutet $ (g\circ f)(x) $ nach Definition der Verkettung $ \circ $ von Abbildungen gerade $ g(f(x)) $.


Rahmen des Beweises:

Zu zeigen ist also eine "für alle"-Aussage. Punkt f) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir betrachten ein beliebig vorgegebenes Element $ z\in Z $ und zeigen unter der zusätzlichen Voraussetzung $ z\in Z $ die Aussage

     $ \exists x\in X\colon (g\circ f)(x)=z $.

Zu zeigen ist also nun eine "es existiert"-Aussage. Punkt g) unter 3. Wie zeige ich...? verrät uns, was zu tun ist: Wir müssen ein Beispiel-Element $ x\in X $ finden, für das $ (g\circ f)(x)=z $ gilt.

Somit ergibt sich folgender Beweisrahmen:

Zu zeigen ist, dass $ g\circ f $ surjektiv ist, d.h. dass für alle $ z\in Z $ ein $ x\in X $ mit $ (g\circ f)(x)=z $ existiert.
Sei also $ z\in Z $.
Zu zeigen ist, dass ein $ x\in X $ existiert mit $ (g\circ f)(x)=z $.
...
Hauptteil
(Finden eines Beispiel-Elementes $ x\in X $.)
(Nachweis von $ (g\circ f)(x)=z $ für dieses Beispiel-Element.)
...
Somit ist die Existenz eines $ x\in X $ mit $ (g\circ f)(x)=z $ nachgewiesen.
Da $ z\in Z $ beliebig war, folgt, dass für alle $ z\in Z $ ein $ x\in X $ existiert mit $ (g\circ f)(x)=z $.
Also ist $ g\circ f $ tatsächlich surjektiv.


Hauptteil des Beweises:

Die Voraussetzungen sind "für alle"-Aussagen. In 4. Wie benutze ich...? erfahren wir unter Punkt f), wie wir sie ins Spiel bringe können: Wir benötigen ein Element $ y\in Y $, um auf die Existenz eines $ x\in X $ mit $ f(x)=y $ schließen zu können bzw. ein $ z\in Z $, um auf die Existenz eines $ y\in Y $ mit $ g(y)=z $ schließen zu können. Ein $ y\in Y $ haben wir nicht, aber ein $ z\in Z $ haben wir in der Situation des Hauptteils. Wenden wir also die Voraussetzung, dass $ g $ surjektiv ist, auf dieses $ z $ an: Wir erhalten die Aussage

    $ \exists y\in Y\colon g(y)=z $.

Unter Punkt g) in 4. Wie benutze ich...? erfahren wir, wie wir diese neue Aussage nutzen können: Wir können nun unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass wir ein $ y\in Y $ mit $ g(y)=z $ gegeben haben, weiter argumentieren. Und das passt gut: Denn genau ein $ y\in Y $ brauchten wir ja, um die Surjektivität von $ f $ ins Spiel bringen zu können. Wenden wir also die Surjektivität von $ f $ auf unser $ y $ an: Wir erhalten die Aussage

    $ \exists x\in X\colon f(x)=y $.

Wir können also nun unter der zusätzlichen Voraussetzung, dass wir ein $ x\in X $ mit $ f(x)=y $ gegeben haben, weiter argumentieren. Insbesondere haben wir ein Beispiel-Element $ x\in X $ gefunden.

Bleibt noch nachzuweisen, dass dieses Element $ x $ die Aussage $ (g\circ f)(x)=z $ erfüllt. Dazu hilft uns die Definition von $ g\circ f $, die Eigenschaft $ f(x)=y $ und die Eigenschaft $ g(y)=z $:

Es gilt $ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z $.


Fertiger Beweis:

Zu zeigen ist, dass $ g\circ f $ surjektiv ist, d.h. dass für alle $ z\in Z $ ein $ x\in X $ mit $ (g\circ f)(x)=z $ existiert.
Sei also $ z\in Z $.
Zu zeigen ist, dass ein $ x\in X $ existiert mit $ (g\circ f)(x)=z $.

Wegen der Surjektivität von $ g $ existiert ein $ y\in Y $ mit $ g(y)=z $.
Wegen der Surjektivität von $ f $ existiert ein $ x\in X $ mit $ f(x)=y $.
Es gilt $ (g\circ f)(x)=g(f(x))=g(y)=z $.

Somit ist die Existenz eines $ x\in X $ mit $ (g\circ f)(x)=z $ nachgewiesen.
Da $ z\in Z $ beliebig war, folgt, dass für alle $ z\in Z $ ein $ x\in X $ existiert mit $ (g\circ f)(x)=z $.
Also ist $ g\circ f $ tatsächlich surjektiv.

Erstellt: Fr 09.11.2012 von tobit09
Letzte Änderung: Fr 09.11.2012 um 11:40 von tobit09
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